矩

在概率論中，矩（moment），是隨機變量的一種數字特徵，常見的數字特徵：數學期望、方差、偏度、峰度、協方差等都是某種矩。

相關概念[]

設一個隨機變量 $X$ ，在下式為有限數的情形下，我們稱 $E(X^r), \quad r > 0$ 為該隨機變量的 $r$ 階原點矩，數學期望是一階原點矩。設 $r<s$ ，若隨機變量 $X$ 的 $s$ 階原點矩存在，可以推出 $r$ 階原點矩亦存在，但反之不真。

設一個隨機變量 $X$ ，在下式為有限數的情形下，我們稱 $E[(X - E(X))^r], \quad r > 0$ 為該隨機變量的 $r$ 階中心矩，方差是二階中心矩。設 $r<s$ ，若隨機變量 $X$ 的 $s$ 階中心矩存在，可以推出 $r$ 階中心矩亦存在，但反之不真。

設一個隨機變量 $X$ ，在下式為有限數的情形下，我們稱 $E|X^r|, \quad r > 0$ 為該隨機變量的 $r$ 階絕對原點矩。若隨機變量 $X$ 的 $r$ 階原點矩存在，可以推出 $r$ 階絕對原點矩亦存在，但反之不真。

設一個隨機變量 $X$ ，在下式為有限數的情形下，我們稱 $E[|X - E(X)|^r], \quad r > 0$ 為該隨機變量的 $r$ 階絕對中心矩。若隨機變量 $X$ 的 $r$ 階中心矩存在，可以推出 $r$ 階絕對中心矩亦存在，但反之不真。

中心矩和原點矩的關係[]

中心矩可以認為是「規範化了的」原點矩，原點矩可以認為是中心矩的特例。實際上， $r$ 階原點矩存在和 $r$ 階中心矩存在是等價的，它們有如下關係： ${\displaystyle \begin{align} E[(X - E(X))^r] & = \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} E(X^k) (-E(X))^{r-k}, \quad r \in \N^+, \\ E(X^r) & = \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} E[(X - E(X))^{r-k}] (E(X))^k, \quad r \in \N^+. \end{align}}$

混合矩[]

對於多個變量以及隨機向量可以定義混合矩。設一個隨機變量 $X, Y$ ，在下式為有限數的情形下，我們稱 $E[(X - E(X))^r (Y-E(Y))^l], \quad r, l > 0$ 為該隨機變量的 $r+l$ 階混合矩。協方差是二階混合矩。

上下節[]

參考資料

李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.

概率分佈（學科代碼：1106420，GB/T 13745—2009）
概率公理化	隨機事件 ▪ 樣本空間 ▪ De Morgan 定理 ▪ 概率空間 ▪ 古典概型 ▪ 幾何概型 ▪ 條件概率 ▪ 事件獨立性 ▪ 獨立重複試驗 ▪ Bernoulli 概型
隨機變量	離散型隨機變量 ▪ 連續型隨機變量 ▪ 隨機變量的函數 ▪ 隨機向量 ▪ 邊緣分佈 ▪ 條件分佈 ▪ 隨機變量的獨立性 ▪ 隨機向量的函數 ▪ 極差分佈
隨機變量的特徵	數學期望 ▪ 方差 ▪ 協方差 ▪ 相關係數 ▪ 矩 ▪ 母函數 ▪ 矩量母函數 ▪ 特徵函數 ▪ 示性函數 ▪ 中位數 ▪ 眾數 ▪ 峰度 ▪ 偏度
離散概率分佈	二項分佈 ▪ 幾何分佈 ▪ Pascal 分佈 ▪ Poisson 分佈 ▪ 超幾何分佈 ▪ 對數分佈 ▪ 負二項分佈 ▪ 多項分佈 ▪ 多元超幾何分佈
連續概率分佈	正態分佈 ▪ 均勻分佈 ▪ 指數分佈 ▪ 對數正態分佈 ▪ Γ 分佈 ▪ χ 分佈 ▪ β 分佈 ▪ Rayleigh 分佈 ▪ Cauchy 分佈 ▪ Pareto 分佈 ▪ Laplace 分佈 ▪ Weibull 分佈 ▪ Maxwell 分佈律 ▪ 二元正態分佈 ▪ 多元正態分佈
統計三大分佈	χ² 分佈 ▪ F 分佈 ▪ t 分佈 ▪ 非中心 χ² 分佈 ▪ 非中心 F 分佈 ▪ 非中心 t 分佈
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