矩阵的迹

在矩阵代数中，一个方阵迹（trace）的定义是它的主对角线上所有元素的和，即，设$A = (a_{ij})_{n \times n}$，那么$\operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^n a_{kk}.$

性质

1. $\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} A^\text{T}.$
2. 方阵的迹是一个线性函数，即满足线性性：$\operatorname{tr} (kA + lB) = k \operatorname{tr} A + l \operatorname{tr} B.$
3. 设$A, \in \mathbb{P}^{m \times n}, B \in \mathbb{P}^{n \times m}$，那么$\operatorname{tr} AB = \operatorname{tr} BA$，尽管它们的阶数不同。
4. 设$A, B$是相似的，那么$\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B.$
5. 设$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$的所有特征值（含重数）是$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$，那么$\operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^n \lambda_k.$
6. 设$A_1, A_2, \cdots, A_s \in \mathbb{P}^{n \times n}$，那么它们所有的顺序排列的迹都相等，即$\operatorname{tr} (A_1 A_2 \cdots A_s) = \operatorname{tr} (A_2 A_3 \cdots A_s A_1) = \cdots = \operatorname{tr} (A_s A_1 A_2 \cdots A_{s-1}).$
7. 在上一条基础上，如果$A_1, A_2, \cdots, A_s$都是实对称矩阵，那么它们所有的排列的迹都相等。

上下节

• 上一节：矩阵的秩
• 下一节：线性方程组

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.