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矩阵代数中,矩阵的转置是一种有关矩阵的常见的运算,复数域上的推广是共轭转置

概念[]

设矩阵,如果满足,就称矩阵为矩阵转置矩阵,记作。简单来说,一个矩阵的转置矩阵就是将原矩阵“行变列、列变行”得到。

当矩阵为方阵时,以上的转置我们称为矩阵的第一类转置,它可以理解为按照主对角线将元素折转,如果按照斜对角线折转,我们就称这种转置矩阵是第二类转置的。

性质[]

矩阵的转置有如下性质

特殊矩阵[]

,如果,就称矩阵对称矩阵,如果,就称矩阵反对称矩阵

可以证明,对称矩阵矩阵与对称矩阵的乘积是对称的,反对称矩阵与反对称矩阵的乘积也是对称的,对称矩阵与反对称矩阵的乘积是反对称的。

元列向量的转置就是元行向量,设,则中的一个数,而

对于任意矩阵都是对称矩阵。

共轭转置[]

设一复数,称共轭,记作

,如果满足,就称矩阵为矩阵共轭转置矩阵,记作。简单来说,一个矩阵的转置矩阵就是将原矩阵“行变列、列变行、每个元素取共轭”得到。

可以建立和矩阵转置性质相似的上述性质,特别地,当时,转置和共轭转置是一致的。

对于一个复数方阵,如果,称Hermite 矩阵,如果,称是斜 Hermite 矩阵。而仅有对称性的复矩阵用处不如 Hermite 矩阵大,但也有一些相关应用,详见复对称矩阵

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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