矩阵

在数学中，矩阵是一个代数概念，可以认为是数的推广，在研究数学问题中发挥着很大的作用。

定义

设有集合$S$，$a_{ij} \in S, i = 1, 2, \cdots, m, j = 1, 2, \cdots, n$，称如下的$m$行$n$列的元素表为集合$S$上的一个$m \times n$阶矩阵。

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$

也可用$(a_{ij})_{m \times n}$来简记上述矩阵，一般来讲，每一个横行称为矩阵的行，每一个纵列称为矩阵的列，而$a_{ij}$可表示为该矩阵第$i$行第$j$列的元素（在有些地区，矩阵的行列是反着称呼的，本社区中默认情况下的行列都是指横行纵列），矩阵也可用大写英文字母或加粗的大写英文字母表示，例如$A = (a_{ij})_{m \times n}$。

设有数域$\mathbb{P}$，如果上述的$S = \mathbb{P}$，就称上述矩阵为数域$\mathbb{P}$上的矩阵，在数学中，一般未指明的矩阵均指的是数字矩阵，即定义在某个数域上的矩阵。

某个数域$\mathbb{P}$上矩阵的全体组成一个集合，记作$\mathbb{P}^{m \times n}$，特别地，如果$m= n$，就称该矩阵是一个$m (n)$阶方阵，如果$m = 1$，即$\mathbb{P}^{1 \times n}$上的矩阵是一个行向量，如果$n=1$，即$\mathbb{P}^{m \times 1}$上的矩阵称为一个列向量，行向量和列向量统称为向量（上述定义是在数域中定义的，实际上它们的元素不仅局限于是数字），向量也被认为是特殊的矩阵，实际上我们可以等同看待$\mathbb{P}^{1 \times n}$和$\mathbb{P}^{n \times 1}$，都简记为$\mathbb{P}^n$。

如果两个矩阵的行数和列数分别相等，并且其对应位置上的元素都相等，则称这两个矩阵相等。即当$a_{ij} = b_{ij}$时，$(a_{ij})_{m\times n}=(b_{ij})_{m\times n}$。

矩阵的运算

加法

两个$\mathbb{P}^{m \times n}$上的矩阵$A = (a_{ij})_{m \times n}, B = (b_{ij})_{m \times n}$的加法定义为它们对应的元素相加得到的新矩阵，即

$$A + B := (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$$

不同阶的矩阵我们不定义加法，可以知道$(\mathbb{P}^{m \times n}, +)$构成一个矩阵加法群，加法的幺元定义为零矩阵，它是数域$\mathbb{P}^{m \times n}$上所有元素都是零的矩阵，记作$O_{m \times n}$，简记为$O$。进而，矩阵$A = (a_{ij})_{m \times n}$的负元被定义为$-A := (-a_{ij})_{m \times n}$，称为是矩阵$A$的负矩阵。

同样我们可以引入减法，作为矩阵加法的逆运算

$$A - B = A + (-B)$$

矩阵的加法满足交换律，即$A+B=B+A$，自然也有结合律$(A+B)+C=A+(B+C)$。

数乘

设$A = (a_{ij}) \in \mathbb{P}^{m \times n}, k \in \mathbb{P}$，将如下定义为矩阵的数乘

$$kA := (ka_{ij})$$

设$A, B \in \mathbb{P}^{m \times n}, k,l \in \mathbb{P}$，则有性质

• $k(A + B) = kA + kB;$
• $(kl)A = k(lA) = l(kA);$
• $(k+l)A = kA + lA.$

乘法

设$A = (a_{ij}) \in \mathbb{P}^{m \times l}, B = (b_{ij}) \in \mathbb{P}^{l \times n}$，定义下面的结果为矩阵的乘法 $C := AB = (c_{ij}) \in \mathbb{P}^{m \times n}$，其中，$c_{ij} = \sum_{k=1}^l a_{ik} b_{kj}, i = 1, 2, \cdots, m, j = 1, 2, \cdots, n$，通俗的说，乘积$AB$的第$i$行第$j$列元素是$A$的第$i$行元素与$B$的第$j$列元素对应相乘后求和，只有当$A$的列数和$B$的行数相同时才能做乘法$AB$。

除了$1 \times 1$的矩阵外，矩阵的乘法一般不具有交换律，甚至交换后的两个矩阵都不能做乘法，$AB$和$BA$同时有意义当且仅当它们都是方阵。

但是，在两端的式子同时有意义时，矩阵的乘法有结合律，即$(AB)C = A(BC)$，今后除特别说明，乘法默认它们在有意义时进行。

如果$AB = BA$，称$n$阶方阵$A$与$B$可交换。

矩阵乘法表征了对应的线性映射的合成运算。

上下节

• 下一节：矩阵的转置

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.