矩量母函数

在概率论中，矩量母函数（moment generating function, MGF）又称矩母函数，形象地被认为是随机变量各阶矩的产生函数。

概念

设有一随机变量$X$，称下式（若存在） $$m_X (t) = E(\text{e}^{tX}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{tx} \mathrm{d}F(x), t \in U(0)$$ 为$X$的矩母函数，其中，$E()$为数学期望，它的自变量$t$至少在$t=0$处有定义，因为$E(1) = 1.$

连续型情形，设连续型随机变量$X$的密度函数为$f(x)$，就是 $$m_X (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{tx} f(x) \mathrm{d}x, t \in U(0).$$ 离散型情形，就是 $$m_X (t) = \sum_{k} \text{e}^{tk} P\{ X = k \}, t \in U(0).$$

常见分布的 MGF

参见：概率分布/其它数字特征。

生成矩

矩量母函数和矩的关系是：

定理一：设随机变量$X$的矩量母函数在$t \in U(0)$中存在，则成立 $$m_X (t) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E(X^n)}{n!} t^n.$$ 证明：注意到$\text{e}^{tx}$的泰勒级数 $$\text{e}^{tx} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} (tx)^n.$$ 进而有 $$m_X (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} (tx)^n \mathrm{d}F(x).$$ 在上式绝对收敛时，交换积分号和求和符号，有 $$\begin{align} m_X (t) & = \sum_{n=0}^\infty \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{n!} (tx)^n \mathrm{d}F(x) \\ & = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{t^n}{n!} \int_{-\infty}^{+\infty} x^n \mathrm{d}F(x) \\ & = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E(X^n)}{n!} t^n. \\ \end{align}$$ 定理二：设随机变量$X$的矩量母函数在$t \in U(0)$中存在，则成立 $$E(X^k) = m_X^{(k)} (0).$$ 由定理一，对等式两侧同时求$k$阶导数，有 $$m_X^{(k)} (t) = \sum_{n=k}^\infty \dfrac{E(X^n)}{n!} t^n = E(X^k) + \sum_{i=1}^\infty \dfrac{E(X^{k+i})}{i!} t^i.$$ 显然当$t=0$时有 $$E(X^k) = m_X^{(k)} (0).$$ 这个性质常用来求随机变量的各阶矩。

其它性质

1. 随机变量的分布函数由矩量母函数唯一确定，反之亦成立；
2. 独立随机变量的和的矩量母函数是每个随机变量矩量母函数的乘积，特别地，$n$个独立同分布随机变量的矩母函数如果是$m_X(t)$，那么$\sum_{k=1}^n X_k$的矩母函数是$m^n_X (t);$
3. 矩量母函数和特征函数的关系：$\varphi_X(t) = m_X(\text{i}t),$前者是$X$的特征函数。

上下节

• 上一节：母函数
• 下一节：特征函数

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.