矩估計

在統計推斷中，矩估計是用樣本估計總體的一種「自然」方式。假設有取自總體的一系列簡單隨機樣本$X_1, X_2, \cdots, X_n$，我們可以使用樣本矩估計總體矩。它簡單易操作但不常用。

概念

假設有總體參數分布族$f(x; \theta)$，其中參數$\theta \in \varTheta$，$\varTheta$是參數空間。$g(\theta)$是定義在$\varTheta$上的函數，且可以表示為總體矩的函數，即 $$g(\theta) = G(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$$ 這裡$\alpha_i, ~(i=1,2,\cdots,m)$是總體的中心矩，當然也可以是原點矩（因為這兩者之間有轉換關係）。

我們將上面的總體矩用對應的樣本矩代替，得出的估計量$\hat{g}(\theta)$稱為矩估計量，這種方法稱為矩法，$g(\theta)$稱為待估函數。

性質

1. 一個總體函數的矩估計量不是唯一的，基於樣本二階原點矩的矩估計量在所有的無偏矩估計量中是方差最小的。
2. 矩估計不一定是無偏的，樣本$k$階原點矩是總體$k$階原點矩的無偏估計，而中心矩除了數學期望之外都是有偏的（但同時是漸近無偏的）。
3. 待估函數的估計如果是基於原點矩的線性組合進行的，那麼這種方法是無偏估計，非線性組合不一定是無偏的。
4. 樣本$k$階原點矩是總體$k$階原點矩的強相合估計，中心矩也是強相合的。

參考資料

1. 韋來生, 《數理統計（第二版）》, 科學出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.