矩估计

在统计推断中，矩估计是用样本估计总体的一种“自然”方式。假设有取自总体的一系列简单随机样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$，我们可以使用样本矩估计总体矩。它简单易操作但不常用。

概念

假设有总体参数分布族$f(x; \theta)$，其中参数$\theta \in \varTheta$，$\varTheta$是参数空间。$g(\theta)$是定义在$\varTheta$上的函数，且可以表示为总体矩的函数，即 $$g(\theta) = G(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$$ 这里$\alpha_i, ~(i=1,2,\cdots,m)$是总体的中心矩，当然也可以是原点矩（因为这两者之间有转换关系）。

我们将上面的总体矩用对应的样本矩代替，得出的估计量$\hat{g}(\theta)$称为矩估计量，这种方法称为矩法，$g(\theta)$称为待估函数。

性质

1. 一个总体函数的矩估计量不是唯一的，基于样本二阶原点矩的矩估计量在所有的无偏矩估计量中是方差最小的。
2. 矩估计不一定是无偏的，样本$k$阶原点矩是总体$k$阶原点矩的无偏估计，而中心矩除了数学期望之外都是有偏的（但同时是渐近无偏的）。
3. 待估函数的估计如果是基于原点矩的线性组合进行的，那么这种方法是无偏估计，非线性组合不一定是无偏的。
4. 样本$k$阶原点矩是总体$k$阶原点矩的强相合估计，中心矩也是强相合的。

参考资料

1. 韦来生, 《数理统计（第二版）》, 科学出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.