矩

在概率论中，矩（moment），是随机变量的一种数字特征，常见的数字特征：数学期望、方差、偏度、峰度、协方差等都是某种矩。

相关概念

设一个随机变量$X$，在下式为有限数的情形下，我们称 $$E(X^r), \quad r > 0$$ 为该随机变量的$r$阶原点矩，数学期望是一阶原点矩。设$r<s$，若随机变量$X$的$s$阶原点矩存在，可以推出$r$阶原点矩亦存在，但反之不真。

设一个随机变量$X$，在下式为有限数的情形下，我们称 $$E[(X - E(X))^r], \quad r > 0$$ 为该随机变量的$r$阶中心矩，方差是二阶中心矩。设$r<s$，若随机变量$X$的$s$阶中心矩存在，可以推出$r$阶中心矩亦存在，但反之不真。

设一个随机变量$X$，在下式为有限数的情形下，我们称 $$E|X^r|, \quad r > 0$$ 为该随机变量的$r$阶绝对原点矩。若随机变量$X$的$r$阶原点矩存在，可以推出$r$阶绝对原点矩亦存在，但反之不真。

设一个随机变量$X$，在下式为有限数的情形下，我们称 $$E[|X - E(X)|^r], \quad r > 0$$ 为该随机变量的$r$阶绝对中心矩。若随机变量$X$的$r$阶中心矩存在，可以推出$r$阶绝对中心矩亦存在，但反之不真。

中心矩和原点矩的关系

中心矩可以认为是“规范化了的”原点矩，原点矩可以认为是中心矩的特例。实际上，$r$阶原点矩存在和$r$阶中心矩存在是等价的，它们有如下关系： $$\begin{align} E[(X - E(X))^r] & = \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} E(X^k) (-E(X))^{r-k}, \quad r \in \N^+, \\ E(X^r) & = \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} E[(X - E(X))^{r-k}] (E(X))^k, \quad r \in \N^+. \end{align}$$

混合矩

对于多个变量以及随机向量可以定义混合矩。 设一个随机变量$X, Y$，在下式为有限数的情形下，我们称 $$E[(X - E(X))^r (Y-E(Y))^l], \quad r, l > 0$$ 为该随机变量的$r+l$阶混合矩。协方差是二阶混合矩。

上下节

• 上一节：相关系数
• 下一节：矩量母函数

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.