直角三角形

直角三角形

直角三角形是三角形的一种，是有一个角为直角的三角形。若直角三角形的三边均为整数，称为毕氏三角形，其边长称为勾股数。

相关概念

在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。

性质

一三角形$ABC$，其各边为$a \leqslant b < c$、半周长$s$、面积$T$、斜边的高$h$、外接圆半径$R$、内切圆半径$r$、旁切圆半径$r_a, r_b, r_c$（分别和$a,b,c$边相切）、中线$m_a, m_b, m_c$。

面积

和其他三角形相同，直角三角形的面积等于任一边（底边）乘以对应高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角边）为底边，另一股即为对应的高，因此面积为二股直角边乘积的一半，面积的公式为 $$T = \dfrac{1}{2} ab$$

高

1. 直角三角形斜边上的高为斜线切割出的二线段的几何平均，这条高切除的两个小三角形相似，且均相似于原三角形。
2. 射影定理
3. $h = \dfrac{ab}{c}$
4. 斜边上的高和两股还有以下的关系$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{h^2}.$

勾股定理

又称毕氏定理，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。反之亦然。 $$a^2 + b^2 = c^2.$$

接切圆

• 内切圆的半径为$$r = \dfrac{a+b-c}{2} = \dfrac{ab}{a+b+c}.$$
• 外接圆的半径为斜边的一半。
• 直角三角形的任一股可以用内切圆半径和另一股长度表示：$$a = \dfrac{2r(b-r)}{b-2r}.$$
• $s = 2R + r.$
• $a^2 + b^2 + c^2 = 8 R^2.$
• $r = s-c.$
• $r_a = s-b.$
• $r_b = s-a.$
• $r_c = s.$
• $r_a + r_b + r_c + r = a + b +c.$
• $r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 + r^2 = a^2 + b^2 + c^2.$
• $r = \dfrac{r_a r_b}{r_c}.$
• $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = 6 R^2.$

角

• 角$A$和角$B$互为余角。
• $\cos A \cos B \cos C = 0.$
• $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2.$
• $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1.$
• 解析失败 (未知函数“\sinA”): {\displaystyle \sin 2A = \sin 2B = 2 \sinA \sin B.}