直线（解析几何）

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

在解析几何中，研究空间中的直线是通过向量以及坐标进行的，直线的方程是其基础。

直线方程

一个平面可以认为是两个相交平面的交线。给定一个仿射标架 $[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$ ，设有两个平面 ${\displaystyle \begin{align} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 & = 0, \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 & = 0, \\ \end{align}}$ 则它们的交线就是直线的方程，上述两个方程联立的方程组就称作直线的普通方程。

空间中的一点 $M_0 (x_0, y_0, z_0)^\text{T}$ 以及一个向量 $\vec{v} = (X, Y, Z)^\text{T}$ 可以确定一条直线，设点 $M(x, y, z)^\text{T}$ 在这条直线上，向量含参方程 $\overrightarrow{O M} = \overrightarrow{O M_0} + t\vec{v}, \quad t \in \R.$ 被称为直线的向量方程，其中与向量 $\vec{v} = (X, Y, Z)^\text{T}$ 共线的所有非零向量叫做这条直线的方向向量。由上述方程有 $\overrightarrow{M_0 M} = t \vec{v}, \quad t \in \R.$ 因此有如下直线的参数方程。 ${\displaystyle \begin{cases} x = x_0 + t X \\ y = y_0 + t Y \\ z = z_0 + t Z \\ \end{cases} \quad t \in \R.}$ 进一步消去参数，可得直线的点向式方程，也称作直线的标准方程： $\dfrac{x-x_0}{X} = \dfrac{y-y_0}{Y} = \dfrac{z-z_0}{Z}, XYZ \ne 0.$ 需要指出的是，我们约定未定式 $\dfrac{0}{0}$ 有意义，可以取到任意实数，这样上述方程对向量分量中有 $0$ 的直线也适用了，例如，由点 $(1,2,-1)^\text{T}$ 以及向量 $\vec{v} = (1,0,-2)^\text{T}$ 的直线标准方程是 $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{0} = \dfrac{z+1}{-2}$ 直线上点的纵坐标只能是 $y=2$ 。

由标准方程可以知道，空间中两个不同的点 $M_i (x_i, y_i, z_i)^\text{T}, i = 1,2$ 也可确定一条直线，这样的直线方程是两点式方程： $\dfrac{x-x_1}{x_1 - x_2} = \dfrac{y-y_1}{y_1 - y_2} = \dfrac{z-z_1}{z_1 - z_2}.$

相互转化

以上实际上是由两种确定直线的方法：向量方程（及其衍生的参数方程、标准方程和两点式方程）都是依靠一个点和一个向量确定的，它们之间的转化仅需找到直线上一个确定的点以及直线的方向向量即可；普通方程是依靠平面交线确定的，它和前几中方程的转化不易直接得出。

从标准方程到普通方程：若已知直线的标准方程 $\dfrac{x-x_0}{X} = \dfrac{y-y_0}{Y} = \dfrac{z-z_0}{Z}, XYZ \ne 0.$ 不失一般性，假设 $X \ne 0$ ，因此上述连等式可写作 ${\displaystyle \begin{cases} \dfrac{x-x_0}{X} & = \dfrac{y-y_0}{Y} \\ \dfrac{x-x_0}{X} & = \dfrac{z-z_0}{Z} \end{cases}}$ 这就是直线的普通方程了。

从普通方程到标准方程：设已知直线的普通方程 ${\displaystyle \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 & = 0, \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 & = 0. \\ \end{cases}}$ 可以通过视察方程的特点直接找出两个点直接写出两点式方程，或者先找出其中一个直线上的特殊点（通常为了简洁取某个坐标分量是零） $(x_0, y_0, z_0)$ ，然后再设直线的方向向量是 $\vec{v} = (X, Y, Z)^\text{T}$ ，这个方向向量和确定直线的两个平面是平行关系，因此有 ${\displaystyle \begin{cases} A_1 X + B_1 Y + C_1 Z & = 0, \\ A_2 X + B_2 Y + C_2 Z & = 0. \\ \end{cases}}$ 由方程组理论，这个三元齐次方程组一定有无穷多组非零解，且它们之间成比例，选取其中一组作为方向向量的值 $\left( \begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} A_1 & C_1 \\ A_2 & C_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} \right)^\text{T}.$

线线位置关系

直线之间的位置关系有平行、重合、相交和异面。设两直线 $l_i$ 分别过点 $M_i (x_i, y_i z_i)^\text{T}$ 且方向向量分别是 $\vec{v_i} = (X_i, Y_i, Z_i)^\text{T}, i = 1,2$ ，并设 ${\displaystyle \Delta := \begin{vmatrix} x_1 - x_2 & X_1 & X_2 \\ y_1 - y_2 & Y_1 & Y_2 \\ z_1 - z_2 & Z_1 & Z_2 \\ \end{vmatrix}}$ 那么两条直线之间关系的充要条件：

两条直线重合： $\exists \lambda, \mu \in \R, \overrightarrow{M_1 M_2} = \mu \vec{v_1} = \lambda \vec{v_2};$
两条直线平行（不重合）： $\exists \lambda \in \R, \vec{v_1} = \lambda \vec{v_2}, \forall \mu \in \R, \overrightarrow{M_1 M_2} \ne \mu \vec{v_1};$
两条直线相交： $\Delta = 0, \forall \lambda \in \R, \vec{v_1} \ne \vec{v_2};$
两条直线异面： $\Delta \ne 0.$

另外，设有两条直线，它们的普通方程分别是 ${\displaystyle \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 & = 0, \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 & = 0, \\ \end{cases}}$ ${\displaystyle \begin{cases} A_3 x + B_3 y + C_3 z + D_3 & = 0, \\ A_4 x + B_4 y + C_4 z + D_4 & = 0, \\ \end{cases}}$ 那么这两条直线相交（重合）当且仅当它们联立的方程组有唯一（无穷多）解。