直纹面

在解析几何中，如果一个曲面上的任意一点上均有至少一条直线经过，则称该曲面为直纹曲面（ruled surface），简称直纹面。另一种常见的说法是，如果一个曲面可以由一条直线通过连续运动构成，则可称其为直纹曲面。柱面和锥面都是直纹面。

概念

一般在三维空间中的直纹面也可以这样定义：如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在$S$上，并且$S$上的每个点都在这一族的某一条直线上，这样的曲面$S$被称为直纹面，这族直线被称为直母线。

如果这样的直线不只有一族，例如，单叶双曲面和双曲抛物面有两族，则称他们为双重直纹曲面（doubly ruled surface），依次可称三重甚至多重直纹曲面。

按代数次数分类

一次直纹面

一次的直纹面就是平面，平面的直母线有无穷族，任给定一个平面的方向向量$\vec{v} = {(X, Y, Z)}^{\operatorname{T}}$，都可以由此建立起直母线族方程$\dfrac{x - \lambda}{X} = \dfrac{y}{Y} = \dfrac{z}{Z}.$

二次直纹面

在二次曲面中，9种二次柱面和1种二次锥面都是直纹面，单叶双曲面和双曲抛物面也是直纹面，且是双重直纹面，但双叶双曲面，椭圆抛物面和3种椭球面不是直纹面。

下面是各种二次直纹面对应的直母线，其中，$a, b, c, p \in \mathbb{R}$是非零常数，$\theta \in [-\pi, \pi), \lambda \in \mathbb{R}$为直母线参数，$t \in \mathbb{R}$为直线参数方程中的参数。约定除了虚曲面外其余均为实空间内的图形。

曲面类型	标准方程	直母线族方程
椭圆柱面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\qquad\begin{cases} x = a \sin{\theta}, \\ y = b \cos{\theta}, \\ z = t. \end{cases}$
虚椭圆柱面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = -1$	$\qquad\begin{cases} x = \mathrm{i} a \sin{\theta}, \\ y = \mathrm{i} b \cos{\theta}, \\ z = t. \end{cases}$
直线	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 0$	$\qquad\begin{cases} x = 0, \\ y = 0, \\ z = t. \end{cases}$
双曲柱面	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\qquad\begin{cases} x = a \cosh{\theta}, \\ y = b \sinh{\theta}, \\ z = t. \end{cases}$
一对相交平面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 0$	$\qquad\begin{cases} x = a \lambda, \\ y = \pm b \lambda, \\ z = t. \end{cases}$
抛物柱面	$x^2 = 2py$	$\qquad\begin{cases} x = 2p \lambda, \\ y = 2p \lambda^2, \\ z = t. \end{cases}$
一对平行平面	$x^2 = a^2$	$\qquad\begin{cases} x = \pm a, \\ y = \lambda, \\ z = t. \end{cases}$
一对虚平行平面	$x^2 = - a^2$	$\qquad\begin{cases} x = \pm a \mathrm{i}, \\ y = \lambda, \\ z = t. \end{cases}$
一对重合平面	$x^2 = 0$	$\qquad\begin{cases} x = 0, \\ y = \lambda, \\ z = t. \end{cases}$
二次锥面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$	$\qquad\begin{cases} x = at \sin{\theta}, \\ y = bt \cos{\theta}, \\ z = ct. \end{cases}$
单叶双曲面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$	$\qquad\begin{cases} \cos{\theta} \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c}\right) = \sin{\theta} \left(1 + \dfrac{y}{b}\right), \\ \sin{\theta} \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c}\right) = \cos{\theta} \left(1 - \dfrac{y}{b}\right). \end{cases}$
		$\qquad\begin{cases} \cos{\theta} \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c}\right) = \sin{\theta} \left(1 - \dfrac{y}{b}\right), \\ \sin{\theta} \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c}\right) = \cos{\theta} \left(1 + \dfrac{y}{b}\right). \end{cases}$
双曲抛物面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 2z$	$\qquad\begin{cases} \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right) + 2 \lambda = 0, \\ z + \lambda \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right) = 0. \end{cases}$
		$\qquad\begin{cases} \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right) + 2 \lambda = 0, \\ z + \lambda \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right) = 0. \end{cases}$

向量形式

假设曲面由向量值函数$\boldsymbol{r}$决定，那么它是直纹面当且仅当选取合适的参数$u, v$后存在向量值函数$\boldsymbol{a}(u), \boldsymbol{b}(u)$使得 $$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{a}(u) + v \boldsymbol{b}(u).$$ 这里$\boldsymbol{b}(u)$就是直母线对应的方向向量。

如果$\boldsymbol{a}(u)$是常向量，那么该直纹面是锥面；

如果$\boldsymbol{b}(u)$的方向始终在相差一个符号的意义下不变，那么该直纹面是柱面。

Gauss 曲率

直纹面的 Gauss 曲率是非正的。假设$E, F, G$和$L,M,N$分别是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式对应的系数，那么直纹面的 Gauss 曲率是 $$K = - \dfrac{M^2}{EG-F^2} \leqslant 0.$$ Gauss 曲率为零的直纹面称为可展曲面，柱面和锥面都是可展曲面。

给定一条正则曲线，它在每一点处的切线的全体也构成一个直纹面，且是可展曲面，称其为切线面。