留数的应用

复变函数论中的留数的应用之一是利用留数计算实积分。

有理三角函数的周期积分

设$R(\cos\theta, \sin\theta)$是$\cos\theta, \sin\theta$的有理函数，并且$R$在$[0, 2\pi]$上连续，那么$\int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm{d}\theta$型的积分可以使用复周线上的复变函数的积分计算。

做变量代换$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$，那么$\mathrm{d}\theta = \dfrac{\mathrm{d}z}{\text{i}z}$，而 $$\cos \theta = \dfrac{z+z^{-1}}{2} = \dfrac{z^2+1}{2z}, \quad \sin \theta = \dfrac{z-z^{-1}}{2\text{i}} = \dfrac{z^2-1}{2\text{i}z}.$$ 上述积分便化为 $$\int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm{d}\theta = \int_{|z| = 1} R\left(\dfrac{z^2+1}{2z}, \dfrac{z^2-1}{2\text{i}z}\right)\dfrac{\mathrm{d}z}{\text{i}z}.$$ 注意到$R(\cos\theta, \sin\theta)$的周期性，上述计算的值实际上是$R(\cos\theta, \sin\theta)$在一个周期$T = 2\pi$上的积分值，特别地，如果$R(\cos\theta, \sin\theta)$是偶函数，那么半个周期上的值可以由下式确定 $$\int_0^{\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm{d}\theta = \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm{d}\theta.$$ 在另外一些情况下，也可考虑积分经过适当变换后和一个周期上的积分值挂钩。

$\int_0^{2\pi} R(\cos n\theta, \sin n\theta) \mathrm{d}\theta$型的积分，做代换$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$，那么$\mathrm{d}\theta = \dfrac{\mathrm{d}z}{\text{i}z}$，且 $$\cos n\theta = \dfrac{z^n+z^{-n}}{2}, \quad \sin \theta = \dfrac{z^n-z^{-n}}{2\text{i}}.$$ 因此 $$\int_0^{2\pi} R(\cos n\theta, \sin n\theta) \mathrm{d}\theta = \int_{|z| = 1} R\left(\dfrac{z^n+z^{-n}}{2}, \dfrac{z^n-z^{-n}}{2\text{i}}\right)\dfrac{\mathrm{d}z}{\text{i}z}.$$ 而对于 $$I_1 = \int_0^{2\pi} \cos n\theta \cdot R(\cos n\theta, \sin n\theta) \mathrm{d}\theta, \quad I_2 = \int_0^{2\pi} \sin n\theta \cdot R(\cos n\theta, \sin n\theta) \mathrm{d}\theta$$ 的情形，令$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$，那么$I_1 + \text{i}I_2 = \int_{|z| = 1} z^n \cdot R\left(\dfrac{z^n+z^{-n}}{2}, \dfrac{z^n-z^{-n}}{2\text{i}}\right)\dfrac{\mathrm{d}z}{\text{i}z}$，计算出该积分，比较实部和虚部就可得到答案。

有理函数的无穷限积分

设有理函数$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$的分子与分母是互质的多项式，且$Q(x)$的次数比$P(x)$至少大2，$Q(x)$在实轴上没有零点，那么 $$\int _{-\infty }^{+\infty }{\dfrac {P(x)}{Q(x)}}\mathrm {d} x=2\pi {\text{i}}\sum _{\operatorname {Im} z_{k}>0}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}{\dfrac {P(z)}{Q(z)}}.$$ 特别地，如果$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$是偶函数，那么 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x.$$

设有理函数$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$的分子与分母是互质的多项式，且$Q(x)$的次数比$P(x)$大，$Q(x)$在实轴上没有零点，$m>0$，那么 $$\int _{-\infty }^{+\infty }{\dfrac {P(x)}{Q(x)}}{\text{e}}^{{\text{i}}mx}\mathrm {d} x=2\pi {\text{i}}\sum _{\operatorname {Im} z_{k}>0}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}\left[{\dfrac {P(z)}{Q(z)}}{\text{e}}^{{\text{i}}mz}\right].$$

上述问题的证明需要用到 Jordan 引理，我们需要选出一个闭曲线作为相应复变函数积分的曲线，然后让该曲线的一部分为实轴的一部分，另一部分为上半平面的半圆周，这样，当整个半圆周连同实轴上的部分的直径趋于无穷的时候，就得到我们关心的结果。

而对于积分路径上有奇点的（主要考虑一阶极点）无穷限反常积分，我们往往需要将该奇点从积分路径上挖掉，将该奇点的一个小邻域的上半圆周部分作为积分路径的一部分，如此计算出极限值得到答案。这一过程需要用到第二个 Jordan 引理。

Jordan 引理

1. 设复变函数$g(z)$在充分大的上半圆周$\mathit{\Gamma}_R: z = R\text{e}^{\text{i}\theta}, \theta \in [0, \pi]$上连续，且$\lim_{R \to +\infty} g(z) = 0$在$\mathit{\Gamma}_R$上一致成立，那么 $$\lim_{R \to +\infty} \int_{\mathit{\Gamma}_R} g(z) \text{e}^{\text{i}mz} \mathrm{d}z = 0$$

2. 设复变函数$g(z)$在充分小的圆弧$\mathit{\Gamma}_r: z - z_0 = r\text{e}^{\text{i}\theta}, \theta \in [\alpha, \beta]$上连续，且$\lim_{r \to 0^+} (z-z_0) g(z) = c$在$\mathit{\Gamma}_R$上一致成立，那么 $$\lim_{r \to 0^+} \int_{\mathit{\Gamma}_R} g(z) \mathrm{d}z = \text{i}(\beta-\alpha)c.$$

上下节

• 上一节：留数理论
• 下一节：对数留数
• 参见：著名积分问题

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.