留数理论

在复变函数中，留数理论是应用最广泛的复分析理论，它的基础是Cauchy 积分公式。

留数

设函数$f(z)$在有限复平面的某区域$D$上有孤立奇点$z_0$，而在$z_0$的某一邻域中解析，在该邻域中作一简单闭曲线$C$，称 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z):=\oint _{C}f(z)\mathrm {d} z$$ 为函数$f(z)$在$z_0$处的留数（residue）。

当且仅当$z_0$是可去奇点时，留数${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=0.$

留数的计算

假设同上，使用函数$f(z)$在$z_0$处的洛朗展式求留数${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)$是通用方法，注意到洛朗系数 $${\dfrac {1}{2\pi {\text{i}}}}\oint _{C}f(z)\mathrm {d} z=c_{-1}={\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z).$$ 因此我们可以将函数在$z_0$处作展开并关注$\dfrac{1}{z - z_0}$前的系数即可计算出留数。

对于极点，尤其是阶数比较小的极点，我们还有如下一系列方法可用：
设$z_0$为$f(z)$的$m$阶极点，那么留数${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)$有如下计算方法 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)={\dfrac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})^{n}f(z){\big ]}^{(n-1)}$$ 特别地，一阶极点的留数 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})f(z){\big ]}$$ 二阶极点的留数 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})^{2}f(z){\big ]}'$$ 此外，如果$z_0$为$f(z) = \dfrac{g(z)}{h(z)}$的一阶极点，那么 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\dfrac {g(a)}{h'(a)}}.$$

Cauchy 留数定理

设函数$f(z)$在除去有限个奇点$z_1, z_2, \cdots, z_n$的某单或复连通区域$D$内解析，边界$C = \partial D$上连续，则 $$\int _{C}f(z)\mathrm {d} z=2\pi {\text{i}}\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}f(z).$$ 特别地，没有奇点时上述定理就是 Cauchy 积分定理，有单奇点时就是 Cauchy 积分公式。上式告诉我们计算某（复）周线上的积分，归结于计算该周线内部包围的奇点的留数。因此，我们一旦把握$f(z)$的解析区域中各奇点的留数，就可以计算解析区域中任意路径的积分了。

无穷远点的留数

设有在扩充复平面$\C_\infty$或其无界区域上的函数$f(z)$，且无穷远点$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，那么可以定义$f(z)$在无穷远点的留数 $${\underset {z=\infty }{\operatorname {Res} }}f(z)=\oint _{C^{-}}f(z)\mathrm {d} z.$$ 其中，简单闭曲线$C$定义在无穷的邻域$C: \{ z | K: R < |z| < +\infty\}$（$R$充分大以使区域$K$中再无$f(z)$的其它奇点）内，$C^{-}$的方向是顺时针方向，这是闭曲线围成的包含无穷远点在内的区域的正向。

对于无穷留数，它的计算可以通过洛朗系数 $${\underset {z=\infty }{\operatorname {Res} }}f(z)=-c_{-1}.$$ 也可以做变量替换$w = \dfrac{1}{z}$，这样就化为了新函数$g(w) = \dfrac{1}{w^2} f(\dfrac{1}{w})$在$w=0$处的留数计算问题。

可以证明，若设$f(z)$在扩充复平面$\C_\infty$上有有限个孤立奇点$z_1, z_2, \cdots, z_n$以及无穷奇点$\infty$，那么 ${\underset {z=\infty }{\operatorname {Res} }}f(z)+\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}f(z)=0.$ 这也就是说，无穷处的留数的相反数就是所有有限孤立奇点的留数之和。

有时候计算某个周线所围成的区域的内部有较多的孤立奇点，而该区域的外部只有无穷奇点或较少的有限孤立奇点，则可以使用计算无穷留数的策略。

上下节

• 上一节：解析函数的孤立奇点/无穷远点
• 下一节：留数的应用

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.