留數理論

在複變函數中，留數理論是應用最廣泛的複分析理論，它的基礎是Cauchy 積分公式。

留數

設函數$f(z)$在有限複平面的某區域$D$上有孤立奇點$z_0$，而在$z_0$的某一鄰域中解析，在該鄰域中作一簡單閉曲線$C$，稱 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z):=\oint _{C}f(z)\mathrm {d} z$$ 為函數$f(z)$在$z_0$處的留數（residue）。

當且僅當$z_0$是可去奇點時，留數${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=0.$

留數的計算

假設同上，使用函數$f(z)$在$z_0$處的洛朗展式求留數${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)$是通用方法，注意到洛朗係數 $${\dfrac {1}{2\pi {\text{i}}}}\oint _{C}f(z)\mathrm {d} z=c_{-1}={\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z).$$ 因此我們可以將函數在$z_0$處作展開並關注$\dfrac{1}{z - z_0}$前的係數即可計算出留數。

對於極點，尤其是階數比較小的極點，我們還有如下一系列方法可用：
設$z_0$為$f(z)$的$m$階極點，那麼留數${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)$有如下計算方法 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)={\dfrac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})^{n}f(z){\big ]}^{(n-1)}$$ 特別地，一階極點的留數 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})f(z){\big ]}$$ 二階極點的留數 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})^{2}f(z){\big ]}'$$ 此外，如果$z_0$為$f(z) = \dfrac{g(z)}{h(z)}$的一階極點，那麼 $${\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\dfrac {g(a)}{h'(a)}}.$$

Cauchy 留數定理

設函數$f(z)$在除去有限個奇點$z_1, z_2, \cdots, z_n$的某單或復連通區域$D$內解析，邊界$C = \partial D$上連續，則 $$\int _{C}f(z)\mathrm {d} z=2\pi {\text{i}}\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}f(z).$$ 特別地，沒有奇點時上述定理就是 Cauchy 積分定理，有單奇點時就是 Cauchy 積分公式。上式告訴我們計算某（復）周線上的積分，歸結於計算該周線內部包圍的奇點的留數。因此，我們一旦把握$f(z)$的解析區域中各奇點的留數，就可以計算解析區域中任意路徑的積分了。

無窮遠點的留數

設有在擴充複平面$\C_\infty$或其無界區域上的函數$f(z)$，且無窮遠點$\infty$是$f(z)$的孤立奇點，那麼可以定義$f(z)$在無窮遠點的留數 $${\underset {z=\infty }{\operatorname {Res} }}f(z)=\oint _{C^{-}}f(z)\mathrm {d} z.$$ 其中，簡單閉曲線$C$定義在無窮的鄰域$C: \{ z | K: R < |z| < +\infty\}$（$R$充分大以使區域$K$中再無$f(z)$的其它奇點）內，$C^{-}$的方向是順時針方向，這是閉曲線圍成的包含無窮遠點在內的區域的正向。

對於無窮留數，它的計算可以通過洛朗係數 $${\underset {z=\infty }{\operatorname {Res} }}f(z)=-c_{-1}.$$ 也可以做變量替換$w = \dfrac{1}{z}$，這樣就化為了新函數$g(w) = \dfrac{1}{w^2} f(\dfrac{1}{w})$在$w=0$處的留數計算問題。

可以證明，若設$f(z)$在擴充複平面$\C_\infty$上有有限個孤立奇點$z_1, z_2, \cdots, z_n$以及無窮奇點$\infty$，那麼 ${\underset {z=\infty }{\operatorname {Res} }}f(z)+\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}f(z)=0.$ 這也就是說，無窮處的留數的相反數就是所有有限孤立奇點的留數之和。

有時候計算某個周線所圍成的區域的內部有較多的孤立奇點，而該區域的外部只有無窮奇點或較少的有限孤立奇點，則可以使用計算無窮留數的策略。

上下節

• 上一節：解析函數的孤立奇點/無窮遠點
• 下一節：留數的應用

參考資料

1. 鍾玉泉, 《複變函數論（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.