在复变函数中,留数理论是应用最广泛的复分析理论,它的基础是Cauchy 积分公式。
留数[]
设函数
在有限复平面的某区域
上有孤立奇点
,而在
的某一邻域中解析,在该邻域中作一简单闭曲线
,称

为函数

在

处的留数(residue)。
当且仅当
是可去奇点时,留数
留数的计算[]
假设同上,使用函数
在
处的洛朗展式求留数
是通用方法,注意到洛朗系数

因此我们可以将函数在

处作展开并关注

前的系数即可计算出留数。
对于极点,尤其是阶数比较小的极点,我们还有如下一系列方法可用:
设
为
的
阶极点,那么留数
有如下计算方法
![{\displaystyle {\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)={\dfrac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})^{n}f(z){\big ]}^{(n-1)}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/d649b04fcc0ecce09f5a0fb6034c61851f227f32)
特别地,一阶极点的留数
![{\displaystyle {\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})f(z){\big ]}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/c972fd2291239078ede62aa2bfa1e35f83d9146f)
二阶极点的留数
![{\displaystyle {\underset {z=z_{0}}{\operatorname {Res} }}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\big [}(z-z_{0})^{2}f(z){\big ]}'}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4c88fdbcdcdfa75c40845f01dc0f2770e1d0488d)
此外,如果

为

的一阶极点,那么

Cauchy 留数定理[]
设函数
在除去有限个奇点
的某单或复连通区域
内解析,边界
上连续,则

特别地,没有奇点时上述定理就是
Cauchy 积分定理,有单奇点时就是
Cauchy 积分公式。上式告诉我们计算某(复)周线上的积分,归结于计算该周线内部包围的奇点的留数。因此,我们一旦把握

的解析区域中各奇点的留数,就可以计算解析区域中任意路径的积分了。
无穷远点的留数[]
设有在扩充复平面
或其无界区域上的函数
,且无穷远点
是
的孤立奇点,那么可以定义
在无穷远点的留数

其中,简单闭曲线

定义在无穷的邻域

(

充分大以使区域

中再无

的其它奇点)内,

的方向是顺时针方向,这是闭曲线围成的包含无穷远点在内的区域的正向。
对于无穷留数,它的计算可以通过洛朗系数

也可以做变量替换

,这样就化为了新函数

在

处的留数计算问题。
可以证明,若设
在扩充复平面
上有有限个孤立奇点
以及无穷奇点
,那么
这也就是说,无穷处的留数的相反数就是所有有限孤立奇点的留数之和。
有时候计算某个周线所围成的区域的内部有较多的孤立奇点,而该区域的外部只有无穷奇点或较少的有限孤立奇点,则可以使用计算无穷留数的策略。
上下节[]
参考资料