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复变函数中,留数理论是应用最广泛的复分析理论,它的基础是Cauchy 积分公式

留数[]

设函数在有限复平面的某区域上有孤立奇点,而在的某一邻域中解析,在该邻域中作一简单闭曲线,称

为函数处的留数(residue)。

当且仅当是可去奇点时,留数

留数的计算[]

假设同上,使用函数处的洛朗展式求留数是通用方法,注意到洛朗系数

因此我们可以将函数在处作展开并关注前的系数即可计算出留数。

对于极点,尤其是阶数比较小的极点,我们还有如下一系列方法可用:
阶极点,那么留数有如下计算方法

特别地,一阶极点的留数
二阶极点的留数
此外,如果的一阶极点,那么

Cauchy 留数定理[]

设函数在除去有限个奇点的某单或复连通区域内解析,边界上连续,则

特别地,没有奇点时上述定理就是 Cauchy 积分定理,有单奇点时就是 Cauchy 积分公式。上式告诉我们计算某(复)周线上的积分,归结于计算该周线内部包围的奇点的留数。因此,我们一旦把握的解析区域中各奇点的留数,就可以计算解析区域中任意路径的积分了。

无穷远点的留数[]

设有在扩充复平面或其无界区域上的函数,且无穷远点孤立奇点,那么可以定义在无穷远点的留数

其中,简单闭曲线定义在无穷的邻域充分大以使区域中再无的其它奇点)内,的方向是顺时针方向,这是闭曲线围成的包含无穷远点在内的区域的正向。

对于无穷留数,它的计算可以通过洛朗系数

也可以做变量替换,这样就化为了新函数处的留数计算问题。

可以证明,若设在扩充复平面上有有限个孤立奇点以及无穷奇点,那么 这也就是说,无穷处的留数的相反数就是所有有限孤立奇点的留数之和。

有时候计算某个周线所围成的区域的内部有较多的孤立奇点,而该区域的外部只有无穷奇点或较少的有限孤立奇点,则可以使用计算无穷留数的策略。

上下节[]

参考资料

  1. 钟玉泉, 《复变函数论(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.
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