界点定理

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相关概念

设 $\mathbf{E}$ 是 $\R$ 的子集，$x$ 是 $\R$ 的某点，

• $x$ 的某个邻域 $U(x; \delta) \in \mathbf {E}$，称 $x$ 是 $\mathbf{E}$ 的内点。
• 若存在 $x$ 的某个邻域 $U(x; \delta) \in \mathbb {R} - \mathbf {E}$，称 $x$ 是 $\mathbf{E}$ 的外点。
• 若 $x$ 既不是 $\mathbf{E}$ 的内点，也不是 $\mathbf{E}$ 的外点(即 $x$ 的任一个邻域既包含有 $\mathbf{E}$ 的点，也含有非 $\mathbf{E}$ 的点)，则称 $x$ 是 $\mathbf{E}$ 的界点。
• 若 $\mathbf{E}$ 的每一点都是它的内点，称 $\mathbf{E}$ 为开集。

界点定理

若数集$\mathbf{E}$非空，且$\mathbf{E} \ne \mathbb{R}$，则$\mathbf{E}$必有界点。

证明

以下的证明由确界定理给出。

$\because \mathbf{E} \ne \varnothing, \exists a \in \mathbf{E}$，又$\mathbf{E} \ne \mathbb{R}$，
$\therefore \exists b \notin \mathbf{E}$，显然$a \ne b$，不妨设$a < b$，
令数集$\mathbf{A}$为所有满足下列条件的集合：

1. $x \in \mathbf{E}$；
2. $x \geqslant a$；
3. $[a, x] \subset \mathbf{E}$。

则$a \in \mathbf{A}$，且$\forall a \in \mathbf{A}, x < b$，
$\therefore \mathbf{A}$是非空有上界的集合，且$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{E}$，
根据确界定理可知，$\mathbf{A}$有上确界，设$\sup{\mathbf{A}} = \alpha$，可以证明$\alpha$是$\mathbf{E}$的界点。
事实上，$\forall \varepsilon>0$，由上确界的定义，$\exists x_0 \in \mathbf{A}, s.t. \alpha - \varepsilon < x_0 < \alpha$，
即$\alpha$的任一个邻域$U(\alpha, \varepsilon)$都包含有$\mathbf{A}$的点。
另一方面，由3) 及$\alpha < \alpha + \varepsilon, \therefore \exists y \notin \mathbf{E}, s.t. \alpha < y < \alpha + \varepsilon,$
故$U(\alpha, \varepsilon)$也存在不是$\mathbf{E}$的点，
$\therefore \alpha$是$\mathbf{E}$的界点。
同理可证$a > b$时集合$\mathbf{E}$存在界点。