瑕積分

瑕積分也稱無界函數的反常積分，或第二類反常積分（第一類是無窮限積分），是 Riemann 積分的另一種推廣，瑕積分是被積函數在積分區間上有第二類間斷點的積分。

概念

設定義在$(a, b]$上的函數$f(x)$在$x=a$的任意右鄰域內無界，但對於充分小的$0 < \eta < b-a$，函數$f(x)$在$[a + \eta, b]$上（黎曼）可積，那麼稱積分 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$ 是函數$f(x)$在區間$[a, b]$上的瑕積分，我們通常也把$x=a$稱為這個函數的一個瑕點（或奇點）。

進一步地，我們可以定義區間右端點是瑕點的瑕積分，只需將上述定義稍作修改即可，而對於區間$[a, b]$內有瑕點$x = c \in (a, b)$的情況，用下面的積分加式來定義。 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$$

斂散性定義

對於上述定義的瑕積分，如果它有有限值，就說這樣的瑕積分收斂，否則稱其為發散的。而其具體的計算方法我們以左瑕點為例給出：

從定義中我們可以知道如果$x=a$是函數$f(x)$在$[a, b]$上的一個瑕點，那麼 $$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{a+\eta }^{b}f(x)\mathrm {d} x$$ 如果等式右邊的極限為有限數，我們就說瑕積分收斂，且其值就是右側的極限值，對於右瑕點的情況也可類似給出。

如果$x=a$和$x = b$都是函數$f(x)$在$[a, b]$上的瑕點，那麼反常積分定義為 $$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\overset {\eta _{1}\to 0^{+}}{\overset {\eta _{2}\to 0^{+}}{}}}\int _{a+\eta _{1}}^{b-\eta _{2}}f(x)\mathrm {d} x$$ 或者取區間$(a,b)$上任意一點$c$，分拆寫成 $$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\eta _{1}\to 0^{+}}\int _{a+\eta _{1}}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\eta _{2}\to 0^{+}}\int _{c}^{b-\eta _{2}}f(x)\mathrm {d} x$$ 若且唯若右邊兩個極限同時存在時稱反常積分收斂。

而對於瑕點$x = c$在積分區間$[a, b]$中的情況，只有在$\int_a^c f(x) \mathrm{d}x$和$\int_c^b f(x) \mathrm{d}x$都收斂時，才能稱$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$收斂，它的極限形式是 $$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\eta _{1}\to 0^{+}}\int _{a}^{c-\eta _{1}}f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\eta _{2}\to 0^{+}}\int _{c+\eta _{2}}^{b}f(x)\mathrm {d} x$$ 和無窮限積分一樣，式子中的$\eta_1$和$\eta_2$是無關的量。

性質

和無窮限積分一樣，它也可以從定積分中推廣過來很多類似的性質，例如線性性、換元法、分部積分都可以推廣過來。也可以像無窮限積分那樣定義絕對收斂和條件收斂，且絕對收斂的積分必收斂。

Cauchy 收斂準則

以左瑕點（$x=a$是瑕點）為例，$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$收斂的充要條件是對任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，當$0 < \eta_1, \eta_2 < \delta$時，有 $$\left| \int_{a+\eta_1}^{a+\eta_2} f(x) \mathrm{d}x \right| < \varepsilon.$$

Cauchy 判別法

設$x=a$是函數$f(x)$的瑕點，如果$|f(x)| \leqslant \dfrac{c}{(x-a)^p}~(c > 0)$，當$p<1$時瑕積分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$絕對收斂；

如果$|f(x)| \geqslant \dfrac{c}{(x-a)^p}~(c > 0)$，當$p \geqslant 1$時瑕積分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$發散。

極限形式

設$\lim_{x \to a} (x-a)^p |f(x)|= k$：

1. 如果$0 \leqslant k < + \infty$，$p<1$，那麼$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$絕對收斂；
2. 如果$0 < k \leqslant + \infty$，$p \geqslant 1$，那麼$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$發散。

以下兩個判別法都是類似於無窮限積分，證明都是對$\int_{a+\eta_1}^{a+\eta_2} f(x) g(x) \mathrm{d}x$使用積分第二中值定理。

Dirichlet 判別法

設$x=a$是函數$f(x)$的瑕點，若對任何$0 < x < b-a$，變限積分$\int_{a+x}^b f(t) \mathrm{d}t$有界，且$g(x)$在$x\to a$時單調趨於零，那麼積分$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x$收斂。

Abel 判別法

該判別法是 Dirichlet 判別法的等價形式，是將 Dirichlet 判別法的第一個條件加強，第二個條件減弱得到的。

它是說：設$x=a$是函數$f(x)$的瑕點，如果$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$收斂且$g(x)$單調有界，那麼積分$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x$收斂。

Cauchy 主值

像無窮限積分那樣，我們也可對瑕積分引入 Cauchy 主值的定義：設函數$x = c$是函數$f(x)$在$[a, b]$上的唯一瑕點，如果 $$\text{P.V.} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x := \lim_{\eta \to 0} \left[ \int_a^{c-\eta} f(x) \mathrm{d}x + \int_{c+\eta}^b f(x) \mathrm{d}x \right]$$ 的極限存在，就稱這個極限為$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$的柯西主值（Cauchy principal value）。

上下節

• 上一節：無窮限積分
• 下一節：數項級數

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.