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瑕积分也称无界函数的反常积分,或第二类反常积分(第一类是无穷限积分),是 Riemann 积分的另一种推广,瑕积分是被积函数在积分区间上有第二类间断点的积分。

概念[]

设定义在上的函数的任意右邻域内无界,但对于充分小的,函数上(黎曼)可积,那么称积分

是函数在区间上的瑕积分,我们通常也把称为这个函数的一个瑕点(或奇点)。

进一步地,我们可以定义区间右端点是瑕点的瑕积分,只需将上述定义稍作修改即可,而对于区间内有瑕点的情况,用下面的积分加式来定义。

敛散性定义[]

对于上述定义的瑕积分,如果它有有限值,就说这样的瑕积分收敛,否则称其为发散的。而其具体的计算方法我们以左瑕点为例给出:

从定义中我们可以知道如果是函数上的一个瑕点,那么

如果等式右边的极限为有限数,我们就说瑕积分收敛,且其值就是右侧的极限值,对于右瑕点的情况也可类似给出。

如果都是函数上的瑕点,那么反常积分定义为

或者取区间上任意一点,分拆写成
当且仅当右边两个极限同时存在时称反常积分收敛。

而对于瑕点在积分区间中的情况,只有在都收敛时,才能称收敛,它的极限形式是

和无穷限积分一样,式子中的是无关的量。

性质[]

和无穷限积分一样,它也可以从定积分中推广过来很多类似的性质,例如线性性、换元法、分部积分都可以推广过来。也可以像无穷限积分那样定义绝对收敛和条件收敛,且绝对收敛的积分必收敛。

Cauchy 收敛准则[]

以左瑕点(是瑕点)为例,收敛的充要条件是对任意的,存在,当时,有

Cauchy 判别法[]

是函数的瑕点,如果,当时瑕积分绝对收敛;

如果,当时瑕积分发散。

极限形式[]

  1. 如果,那么绝对收敛;
  2. 如果,那么发散。

以下两个判别法都是类似于无穷限积分,证明都是对使用积分第二中值定理

Dirichlet 判别法[]

是函数的瑕点,若对任何,变限积分有界,且时单调趋于零,那么积分收敛。

Abel 判别法[]

该判别法是 Dirichlet 判别法的等价形式,是将 Dirichlet 判别法的第一个条件加强,第二个条件减弱得到的。

它是说:设是函数的瑕点,如果收敛且单调有界,那么积分收敛。

Cauchy 主值[]

像无穷限积分那样,我们也可对瑕积分引入 Cauchy 主值的定义:设函数是函数上的唯一瑕点,如果

的极限存在,就称这个极限为柯西主值(Cauchy principal value)。

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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