瑕积分也称无界函数的反常积分,或第二类反常积分(第一类是无穷限积分),是 Riemann 积分的另一种推广,瑕积分是被积函数在积分区间上有第二类间断点的积分。
概念[]
设定义在
上的函数
在
的任意右邻域内无界,但对于充分小的
,函数
在
上(黎曼)可积,那么称积分

是函数

在区间
![{\displaystyle [a,b]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f6257fd8e02b31abfa0fbeed7ab806e5d09a72d6)
上的
瑕积分,我们通常也把

称为这个函数的一个瑕点(或奇点)。
进一步地,我们可以定义区间右端点是瑕点的瑕积分,只需将上述定义稍作修改即可,而对于区间
内有瑕点
的情况,用下面的积分加式来定义。

敛散性定义[]
对于上述定义的瑕积分,如果它有有限值,就说这样的瑕积分收敛,否则称其为发散的。而其具体的计算方法我们以左瑕点为例给出:
从定义中我们可以知道如果
是函数
在
上的一个瑕点,那么

如果等式右边的极限为有限数,我们就说瑕积分收敛,且其值就是右侧的极限值,对于右瑕点的情况也可类似给出。
如果
和
都是函数
在
上的瑕点,那么反常积分定义为

或者取区间

上任意一点

,分拆写成

当且仅当右边两个极限同时存在时称反常积分收敛。
而对于瑕点
在积分区间
中的情况,只有在
和
都收敛时,才能称
收敛,它的极限形式是

和无穷限积分一样,式子中的

和

是无关的量。
性质[]
和无穷限积分一样,它也可以从定积分中推广过来很多类似的性质,例如线性性、换元法、分部积分都可以推广过来。也可以像无穷限积分那样定义绝对收敛和条件收敛,且绝对收敛的积分必收敛。
以左瑕点(
是瑕点)为例,
收敛的充要条件是对任意的
,存在
,当
时,有

设
是函数
的瑕点,如果
,当
时瑕积分
绝对收敛;
如果
,当
时瑕积分
发散。
极限形式[]
设
:
- 如果
,
,那么
绝对收敛;
- 如果
,
,那么
发散。
以下两个判别法都是类似于无穷限积分,证明都是对
使用积分第二中值定理。
设
是函数
的瑕点,若对任何
,变限积分
有界,且
在
时单调趋于零,那么积分
收敛。
该判别法是 Dirichlet 判别法的等价形式,是将 Dirichlet 判别法的第一个条件加强,第二个条件减弱得到的。
它是说:设
是函数
的瑕点,如果
收敛且
单调有界,那么积分
收敛。
像无穷限积分那样,我们也可对瑕积分引入 Cauchy 主值的定义:设函数
是函数
在
上的唯一瑕点,如果
![{\displaystyle {\text{P.V.}}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x:=\lim _{\eta \to 0}\left[\int _{a}^{c-\eta }f(x)\mathrm {d} x+\int _{c+\eta }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/d609b9e6edf3100f20199c7076eac8fdb563e285)
的极限存在,就称这个极限为

的
柯西主值(Cauchy principal value)。
上下节[]
参考资料