理想

在环论中，为了能像在集合和群那样给定一个等价关系后可以做商而引进子集和正规子群那样，环作商依托的正是一类特殊的环的陪集，称之为理想（ideal），它不一定是子环。格论中也有理想的概念，参见格的理想。

定义

环的理想定义和半群的理想类似，我们先定义左（右）理想。

设有一环$R$，$(I,+)$构成$(R, +)$的子群，如果满足：

$$rI:= \{ ri: i \in I \} \subseteq I, \forall r \in R.$$

我们就说$I$是$R$的左理想，同样，如果满足：

$$Ir:= \{ ir: i \in I \} \subseteq I, \forall r \in R.$$

我们就说$I$是$R$的右理想。

$I$既是左理想又是右理想，则称$I$是$R$的理想。

从环$R$到$S$的一个环同态$\varphi$的核$\text{Ker} \varphi$是$R$的一个理想。

生成理想和主理想

设有交换环$R$，元素$a \in R$，元素$a$配上$R$上的加法和乘法运算，如下的一个代数结构

$$(a) := \{ ra: r \in R \}$$

成为$R$的一个理想，我们称它为元素$a$生成的理想，或主理想（principal ideal generated by a）。

有限个元素也可以生成理想，设$R$是交换环，那么有限个元素$\{ a_i \}_{i=1}^n$的生成理想可以表示为

$$(a_1, a_2, \cdots, a_n) := \{ r_1 a_1 + r_2 a_2 + \cdots + r_n a_n: r_1, r_2, \cdots, r_n \in R \}$$

在引入理想的加法后实际上就是

$$(a_1, a_2, \cdots, a_n) = (a_1) + (a_2) + \cdots + (a_n).$$

无限个元素也可以生成理想，不过这时元素的表示并不是无限和（因为这里的代数中没有引入度量和极限运算，无限和只是形式记号）。无限个元素$\{ a_i \}_{i \in A}$生成的理想中的元素都是一些有限和，这可以表示为

$$(a_i)_{i \in A} = \left\{ \sum_{i \in A} r_i a_i: r_i \in R \right\}.$$

其中，$r_i$除了有限个非零外均为零，这里$A$是计数变量$i$的底集，是无限集。

如果环$R$未必交换，那么

$$(a) := \{ ra + as: r, s \in R \}$$

真理想

在环$R$中，$(0)$只有一个元素零元，称为零理想；设有$R$的理想$I$，如果$I = R = (1)$则称其为平凡理想，非平凡的非零理想称为真理想（proper ideal），即$I \ne (0), I \ne (1)$的$I$是真理想。

若$I$是$R$的真理想，那么存在一个$R$的包含$I$的极大理想。

运算

我们可以引入理想上的一些运算：加法、乘法以及交运算。以下均设$I, J$是环$R$的理想。

1. 加法$I + J := \{ i+j: i \in I, j \in J \}$，它是满足$I, J \leqslant K \leqslant R$的最小理想$K.$
2. 乘法$IJ := \sum_{i \in I, j \in J}(ij)$表示由$\{ij: i \in I, j \in J\}$这个集合生成的理想。
3. 交运算$I \cap J := \{ k: k \in I \And k \in J \}$是含于$I, J$的最小的理想。

显然有$IJ \subseteq I \cap J$，如果$I + J = (1)$，那么有$IJ = I \cap J$。上述最大最小是在集合包含意义上的描述。

注意一般情况下的理想的并集不一定是理想。

参见

• 素理想和极大理想
• 商环
• 诺特环
• 模

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.