球面

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

球面（sphere）是三维空间中完全圆形的几何物体，它是圆球的表面，是一种特殊的曲面。

概念

在三维空间中给定一点 $O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}}$ ，我们称到这个点的距离为 $r$ 的所有点的集合为一个球面， $r$ 称为球面的半径，定点 $O'$ 称为这个球面的球心，而两端都在球面上的最长线段称为直径 $d$ ， $d = 2 r.$

注意球面不是球，球包含球面及其内部，球面是二维封闭曲面，球是三维图形，只包括球面内部的所有点而不包括球面上的点称为开球。

方程

普通方程

由点点距离可推出球心 $O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}}$ 半径 $r$ $( r > 0 )$ 的球面方程为

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2

一般方程

假设 $a_{11}, a_1, a_2, a_3, a_0 \in \mathbb{R}$ , 令 ${\displaystyle x_0 = {\dfrac {- a_1}{a_{11}}}, y_0 = {\dfrac {- a_2}{a_{11}}}, z_0 = {\dfrac {- a_3}{a_{11}}}, \rho = {\dfrac {a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2} - a_{11} a_0}{a_{11}^{2}}}.}$
可得解析方程

F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{11} y^2 + a_{11} z^2 + 2 a_1 x + 2 a_2 y + 2 a_3 z + a_0 = 0.

球面方程的特点是：不含交叉项，二次项系数相等。

如果 $\rho > 0$ ，则 $F(x, y, z) = 0$ 表示 $O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}}$ 半径 $\sqrt{\rho}$ 的球面；
如果 $\rho = 0$ ，则 $F(x, y, z) = 0$ 表示点球面，即 $O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}}$ ；
如果 $\rho < 0$ ，则 $F(x, y, z) = 0$ 表示虚球面。