环量

在场论中，环量是描述一个向量场和环线之间相互作用的量，是一个标量，是衡量场的涡旋性质的量。

概念

设空间区域$\mathit{\Omega}$上的一个三维向量场$\boldsymbol{F}$，有逐段光滑的有向封闭曲线$C \in \mathit{\Omega}$，它的单位切向量为$\boldsymbol{\tau}$，则下列第二型曲线积分

$$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau}$$

称为向量场$\boldsymbol{F}$沿着曲线$C$的环量，曲线$C$也称作环线。

在直角坐标系中，根据第二型曲线积分的定义，设$\boldsymbol{F}(x, y, z) = P(x, y, z) \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \boldsymbol{k}$，那么环量可以写作

$$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \oint_C P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z.$$

物理意义

环量反映了向量场$\boldsymbol{F}$沿着封闭曲线$C$的旋转情况。实际上，在每一小段曲线上，如果环量大于零则说明这段曲线的切向量和该小区域中场的方向夹角为锐角；如果环量大于零则说明这段曲线的切向量和该小区域中场的方向夹角为钝角。在一条封闭曲线上，如果环量大于零则说明曲线内部有影响场存在的漩涡，且曲线的方向和漩涡的方向一致；如果环量小于零则说明曲线内部有影响场存在的漩涡，且曲线的方向和漩涡的方向相反；如果环量等于零不能断言曲线所包围的区域中没有漩涡，因为有可能同时存在两种方向相反的漩涡，但它们的强度一致。

力学中刚体模型下的线速度场就构成一个有漩涡的向量场，实际上，角速度正是漩涡的表现，这是说角速度的方向和转轴的方向同向或反向，而线速度又是角速度和矢径的外积，即$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$，它的方向是由右手系确定。下述第二型曲线积分

$$\oint_C \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \oint_C \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \pm 2 \pi r^2 \omega.$$

可见角速度的大小$\omega$正比于环量。

环量叠加定理

同一空间区域$\mathit{\Omega}$若有多个向量场$\boldsymbol{F}_i,i = 1,2,\cdots,n$，对于一条逐段光滑的封闭有向曲线$C$，它的环量为各向量场在这条曲线上的代数和。

因此，我们可以在不影响大局的前提下对某些向量场的环量作用进行合并或分解，但它们各自的的涡流依然在实际上来说是不相干的。

Stokes 公式

设$\mathit{\Omega}$中的向量场$\boldsymbol{F}(x, y, z) = P(x, y, z) \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \boldsymbol{k}$，有逐块光滑的简单闭曲面$\boldsymbol{S} \in \mathit{\Omega}$，它的边界为逐段光滑曲线$\boldsymbol{C}$，那么有下述公式成立

$$\begin{align} & \int_\boldsymbol{C} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z = \\ & \iint_\boldsymbol{S} \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \mathrm{d}x + \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y. \end{align}$$

闭曲面$\boldsymbol{S}$的方向与曲线$\boldsymbol{C}$的方向由右手螺旋定则确定。

这就是说，曲面边界的环量可以使用曲面上的第二型曲面积分表示。

平面情形

在平面向量场上，环量的定义与三维情形类似，依旧是一个第二型曲线积分

$$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau}$$

在直角坐标系中，根据第二型曲线积分的定义，设$\boldsymbol{F}(x, y) = P(x, y) \boldsymbol{i} + Q(x, y) \boldsymbol{j}$，那么环量可以写作

$$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \oint_C P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y.$$

有 Green 公式

$$\oint_C P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y.$$

其中，$D$是封闭曲线$C$围成的区域。上式是说，曲线上的环量可以使用曲线内部区域的二重积分表示。

上下节

• 上一节：散度
• 下一节：方向旋量

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.