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环上的代数在基础数学很多领域有着广泛的应用,例如 Banach 代数

定义[]

假设有交换,R-代数(R-algebra)被定义为一个环同态,且包含在环的中心里,即

这个定义有些抽象,我们不妨用一个例子说明白一些:一个环同态提供了一个(左)R-,通过定义如下模作用:

对比 R-代数的定义,我们要让上面的环同态成为 R-代数,还需要满足交换性。这实际上就是说环同态提供了一个(右)R-,通过定义如下模作用:
交换性要求我们必须假设即左 R-模和 右 R-模是相同的,因此这时我们就可以说是一个 R-代数。由此可见 R-代数只是对环同态诱导的 R-模条件加强了而已。

有时我们不严谨的说上述带有 R-模结构的是 R-代数。

范畴 R-Alg[]

进一步有不同 R-代数间同态的概念,这样的同态同时保持了环结构和模结构,进而可以定义范畴

注意:就是

多项式环上可以定义交换的 R-代数,特别是当是代数闭域时这样的 R-代数在代数几何中有应用。

有限生成和有限型[]

我们可以定义 R-代数的有限生成,这时我们就会有两种定义:一种是作为 R-模的有限生成,一种是作为 R-代数的有限生成,这两个是有区别的,尽管很多场合下它们十分相似甚至相同。前一种定义我们称是有限生成的(finitely generated),而后一种定义我们称是有限型的(of finite type)。下面分别严格写出这两种定义:

  1. 称 R-代数是有限生成的,如果存在一个满的 R-模同态,这里是有限生成的 自由 R-模
  2. 称 R-代数是有限型的,如果存在一个满的 R-代数同态,这里是有限生成的 自由 R-代数。

自由 R-模和自由 R-代数不同,R-模同态和 R-代数同态也不同,这是因为 R-代数不止有模结构,还具有环结构。

  1. 有限生成的自由 R-模是指存在有限集合,定义出的模的直和
  2. 有限生成的自由 R-代数是指存在有限集合,定义出的多项式环

由此可知,有限生成的 R-代数一定是有限型的,反之未必,例如:交换环上的多项式环作为 R-代数是有限型的,但不是有限生成的。

如果诺特环是有限型的 R-代数,那么也是诺特的。这个性质由 Hilbert 基定理立得。

参考资料

  1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.
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