环上的代数在基础数学很多领域有着广泛的应用,例如 Banach 代数。
定义[]
假设有交换环
,R-代数(R-algebra)被定义为一个环同态
,且
包含在环
的中心里,即
这个定义有些抽象,我们不妨用一个例子说明白一些:一个环同态
提供了一个(左)R-模,通过定义如下模作用:

对比 R-代数的定义,我们要让上面的环同态

成为 R-代数,还需要满足交换性。这实际上就是说环同态

提供了一个(右)R-
模,通过定义如下模作用:

交换性要求我们必须假设

即左 R-模和 右 R-模是相同的,因此这时我们就可以说

是一个 R-代数。由此可见 R-代数只是对环同态诱导的 R-模条件加强了而已。
有时我们不严谨的说上述带有 R-模结构的
是 R-代数。
范畴 R-Alg[]
进一步有不同 R-代数间同态的概念,这样的同态同时保持了环结构和模结构,进而可以定义范畴
注意:
就是
多项式环
上可以定义交换的 R-代数,特别是当
是代数闭域时这样的 R-代数在代数几何中有应用。
有限生成和有限型[]
我们可以定义 R-代数
的有限生成,这时我们就会有两种定义:一种是
作为 R-模的有限生成,一种是
作为 R-代数的有限生成,这两个是有区别的,尽管很多场合下它们十分相似甚至相同。前一种定义我们称
是有限生成的(finitely generated),而后一种定义我们称
是有限型的(of finite type)。下面分别严格写出这两种定义:
- 称 R-代数
是有限生成的,如果存在一个满的 R-模同态
,这里
是有限生成的 自由 R-模。
- 称 R-代数
是有限型的,如果存在一个满的 R-代数同态
,这里
是有限生成的 自由 R-代数。
自由 R-模和自由 R-代数不同,R-模同态和 R-代数同态也不同,这是因为 R-代数不止有模结构,还具有环结构。
- 有限生成的自由 R-模是指存在有限集合
,定义出的模的直和
。
- 有限生成的自由 R-代数是指存在有限集合
,定义出的多项式环
。
由此可知,有限生成的 R-代数一定是有限型的,反之未必,例如:交换环
上的多项式环
作为 R-代数是有限型的,但不是有限生成的。
如果
是诺特环且
是有限型的 R-代数,那么
也是诺特的。这个性质由 Hilbert 基定理立得。
参考资料
- Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN
978-1-4704-6571-1
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