环同态

在抽象代数中，环同态（ring homomorphism）是两个满足某种性质的环之间的一种映射。

概念

设有两个环$R, S$，如果一映射$\varphi: R \to S$满足

1. 保持加法：$\forall a, b \in R, \varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b);$
2. 保持乘法：$\forall a, b \in R, \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b);$
3. 保持单位元：$\varphi(1_R) = 1_S.$

我们就说$\varphi$是$R$到$S$的一个环同态，也称$R$和$S$是同态的。

如果$\varphi$是单（满，双）射时，对应地称$\varphi$是单同态（满同态，同构），同构时也记$R \cong S.$

要注意，环同态不保持零因子，即如果$a$是$R$中的零因子，那么$\varphi(a)$不一定是$S$中的零因子。

等价刻画

对于一个环同态$\varphi: R \to S$而言，它是单同态和环范畴上的单态射是一致的，即满足左可消：

$$\forall \alpha_1, \alpha_2: T \to R, \varphi \circ \alpha_2 = \varphi \circ \alpha_2 \Longrightarrow \alpha_1 = \alpha_2.$$

这也等价于核$\operatorname{Ker} \varphi = \{ 0_R \}.$

但是环同态$\varphi$是满同态却不和环范畴上的满态射等价，满同态一定是满态射，反之未必，这也就是说满同态一定可以右可消。

典范分解

环同态$\varphi: R \to S$可以分解为以下映射的复合

$$\begin{align} R \overset{\pi}{\longrightarrow} R/\operatorname{Ker} \varphi \overset{\tilde{\varphi}}{\longrightarrow} \operatorname{Im} \varphi \overset{j}{\longrightarrow} S. \end{align}$$

因此将环同态$\varphi$分解为一个满射$\pi: R \to R/\operatorname{Ker} \varphi$，双射$\tilde{\varphi}: R/\operatorname{Ker} \varphi \to \operatorname{Im} \varphi$（第一同构定理），单射$j: \operatorname{Im} \varphi \to S$的复合。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.