环

在代数中，环（ring）是一个集合连同其上的两个二元运算并满足某些公理所构成的一个代数结构，这里介绍的环以及本社区中代数范围内提及的环一般情况下是指含有单位元的环，不含单位元定义出来的环参见无幺环。

定义

我们称一个代数系统$(R, +, \cdot)$是一个环，如果满足：

1. $(R, +)$是一个交换群；
2. $(R, \cdot)$是一个幺半群；
3. 乘法$\cdot$对加法$+$满足分配律
   $$\forall a, b, c \in R, \quad a(b+c) = ab + ac, \quad (a+b)c = ac + bc.$$

一般我们也将$(R, +, \cdot)$简记作$R$。

在环中有基本的特殊元素

1. 零元，$\forall a \in R, 0a = 0$，它是加法的单位元，记作$0_R$或$0$。
2. 乘法的单位元，记作$1_R$或$1$。
3. 负元，$(-1)a = -a$，$-1$是乘法单位元关于加法运算的逆元。

如果一个环$R$满足对乘法交换（即$(R, \cdot)$是交换幺半群），我们就说$R$是交换环。如果$R$的元素个数有限，就说其是有限环，否则为无限环。

例子

1. 零环，只有一个元素$0$，它同时是加法和乘法的单位元。
2. 整数（有理数，实数或复数）关于数的加法和乘法构成一交换环。
3. 一个集合的幂集连同其上的对称差运算作为加法，交运算作为乘法运算构成一环，称为 Bool 环。
4. $\Z_n = \Z/n\Z, n \in \N^+$是一交换环。
5. 实数上的多项式$\R[x]$关于多项式的加法和乘法为一环。
6. 实数$n$阶方阵关于矩阵的加法和乘法构成一非交换环。

零因子

假设$R$是环，如果存在$a \in R$，对任意的$b \in R, b \ne a$都有

$$ab = 0$$

我们就说$a$是一个左零因子，同样可以定义右零因子$a$，它满足的条件是

$$ba = 0$$

如果$a$既是左零因子又是右零因子，我们就称$a$是零因子，显然$0$是任何非零环的零因子。没有零因子的环称为无零因子环。

例如，$\Z_6$是有零因子的环，它的零因子是$\overline{2}, \overline{3}$，$\Z, \Q, \R, \C$连同数的加法和乘法构成的环都是无零因子环。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.