獨立重複試驗

在概率論中常常要涉及到做多次某個隨機試驗，在這之中試驗之間的獨立性是很多情況下的前提，獨立重複試驗的特例——伯努利試驗則是概率論最早也是最多研究的內容。

試驗的獨立性

設有一列隨機試驗$\{ E_i \}_{i=1}^n$，它們對應的樣本空間是$\{ \mathit{\Omega_i} \}_{i=1}^n$，則稱複合試驗$E$表示依次進行試驗$\mathit{\Omega_i}, i =1, 2, \cdots, n$，即試驗$E$的樣本空間是$\{ E_i \}_{i=1}^n$的笛卡爾積，$\mathit{\Omega} = \mathit{\Omega_1} \times \mathit{\Omega_2} \times \cdots \times \mathit{\Omega_n}.$

以$\mathcal{F}_k$記與第$k$次試驗有關的事件全體，如果$\forall A_i \in \mathcal{F}_i, i = 1,2,\cdots,n$都有 $$P \left( \bigcap_{i=1}^n A_i \right) = \prod_{i=1}^n P(A_i).$$ 我們就稱試驗$\{ E_i \}_{i=1}^n$是相互獨立的。

最常研究的一類相互獨立試驗是獨立重複試驗$\{ E_i \}_{i=1}^n$，它的樣本空間滿足$\mathit{\Omega_1} = \mathit{\Omega_2} = \cdots = \mathit{\Omega_n}$且每個樣本空間中定義的概率完全相等，並且這些試驗是相互獨立的。

伯努利試驗

如果有一列獨立重複試驗$\{ E_i \}_{i=1}^n$，它的事件域$\mathcal{F} = \{ \mathit{\Omega}, \varnothing, A, \overline{A} \}$，我們就稱這組獨立重複試驗是$n$重伯努利試驗（Bernoulli）。其中，定義$P(A) = p \in [0, 1]$在每次試驗中保持不變，那麼$P(\overline{A}) = 1-p$。最簡單的一個$n$重伯努利試驗的例子就是同一個硬幣連續拋$n$次。

$n$重伯努利試驗的樣本點是 $$(\hat{A_1}, \hat{A_2}, \cdots, \hat{A_n})$$ 其中，$\hat{A_i}$可以取到$A_i$或$\overline{A_i}$兩個值，因此它的所有樣本點數量是$2^n$。我們也可以將它推廣到可列個的情形。

和伯努利試驗有關的概率模型，我們稱為伯努利概型，例如兩點分布、二項分布、超幾何分布等。

推廣的伯努利試驗

有時候，在$n$次獨立重複試驗中，我們不僅僅只關心某一個事件發生與否，需要對一個事件的若干（有限個）可能情況都做估計，這就是如下的伯努利試驗的推廣：

如果有一列獨立重複試驗$\{ E_i \}_{i=1}^n$，每次$E_i$試驗都有相同的有限個可能結果$A_{i1}, A_{i2}, \cdots, A_{im}$，它們滿足規範性條件 $$\sum_{j=1}^m P(A_{ij}) = 1.$$ 這個試驗是多項分布的模型，當$m = 2$時就是$n$重伯努利試驗。

上下節

• 上一節：事件獨立性
• 下一節：伯努利概型

參考資料

1. 李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.