独立重复试验

在概率论中常常要涉及到做多次某个随机试验，在这之中试验之间的独立性是很多情况下的前提，独立重复试验的特例——伯努利试验则是概率论最早也是最多研究的内容。

试验的独立性

设有一列随机试验$\{ E_i \}_{i=1}^n$，它们对应的样本空间是$\{ \mathit{\Omega_i} \}_{i=1}^n$，则称复合试验$E$表示依次进行试验$\mathit{\Omega_i}, i =1, 2, \cdots, n$，即试验$E$的样本空间是$\{ E_i \}_{i=1}^n$的笛卡尔积，$\mathit{\Omega} = \mathit{\Omega_1} \times \mathit{\Omega_2} \times \cdots \times \mathit{\Omega_n}.$

以$\mathcal{F}_k$记与第$k$次试验有关的事件全体，如果$\forall A_i \in \mathcal{F}_i, i = 1,2,\cdots,n$都有 $$P \left( \bigcap_{i=1}^n A_i \right) = \prod_{i=1}^n P(A_i).$$ 我们就称试验$\{ E_i \}_{i=1}^n$是相互独立的。

最常研究的一类相互独立试验是独立重复试验$\{ E_i \}_{i=1}^n$，它的样本空间满足$\mathit{\Omega_1} = \mathit{\Omega_2} = \cdots = \mathit{\Omega_n}$且每个样本空间中定义的概率完全相等，并且这些试验是相互独立的。

伯努利试验

如果有一列独立重复试验$\{ E_i \}_{i=1}^n$，它的事件域$\mathcal{F} = \{ \mathit{\Omega}, \varnothing, A, \overline{A} \}$，我们就称这组独立重复试验是$n$重伯努利试验（Bernoulli）。其中，定义$P(A) = p \in [0, 1]$在每次试验中保持不变，那么$P(\overline{A}) = 1-p$。最简单的一个$n$重伯努利试验的例子就是同一个硬币连续抛$n$次。

$n$重伯努利试验的样本点是 $$(\hat{A_1}, \hat{A_2}, \cdots, \hat{A_n})$$ 其中，$\hat{A_i}$可以取到$A_i$或$\overline{A_i}$两个值，因此它的所有样本点数量是$2^n$。我们也可以将它推广到可列个的情形。

和伯努利试验有关的概率模型，我们称为伯努利概型，例如两点分布、二项分布、超几何分布等。

推广的伯努利试验

有时候，在$n$次独立重复试验中，我们不仅仅只关心某一个事件发生与否，需要对一个事件的若干（有限个）可能情况都做估计，这就是如下的伯努利试验的推广：

如果有一列独立重复试验$\{ E_i \}_{i=1}^n$，每次$E_i$试验都有相同的有限个可能结果$A_{i1}, A_{i2}, \cdots, A_{im}$，它们满足规范性条件 $$\sum_{j=1}^m P(A_{ij}) = 1.$$ 这个试验是多项分布的模型，当$m = 2$时就是$n$重伯努利试验。

上下节

• 上一节：事件独立性
• 下一节：伯努利概型

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.