特征子空间

为了更深入地研究线性变换的特征值和特征向量，这里引出特征子空间的概念。

定义

由特征向量性质的第2、3条，我们可以知道 $$V_{\lambda_i} := \{ \xi \in V~|~\mathcal{A} \xi = \lambda_i \xi \} \leqslant V$$ 因此我们把这个子空间叫做$\lambda_i$的特征子空间（eigen-subspace），它是包含了属于$\lambda_i$的特征向量和零向量的集合，显然对加法和数乘是封闭的，特征子空间也记作$\text{Ker} (\lambda_i E - A)$（引入核的概念后得到）。

维数

考虑线性方程组 $$|\lambda E - A| X = \theta, \quad X \in \mathbb{P}^n$$ 这个方程组解空间的维数为$n - r(\lambda E - A)$

解空间中的向量就是特征向量的坐标。

在同构的意义下，特征子空间$V_\lambda$的维数和上述方程组解空间的维数相等，故$\dim V_\lambda = \dim \text{Ker} (\lambda E - A) = n - r(\lambda E - A)$

几何重数

我们把特征子空间$V_\lambda$的维数也称作对应于特征根$\lambda$的几何重数（geometric multiplicity）。

如果一个矩阵的几何重数和代数重数相等，我们就称这个矩阵是非亏损的，反之称为亏损的。

上下节

• 上一节：线性变换的特征值和特征向量
• 下一节：特征多项式

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.