特征多项式

在线性代数中，特征多项式的概念是为了进一步研究相似方阵的相关性质以及线性变换的性质而引入的。

定义

对于方阵$A$，我们把 $$\Delta_A (\lambda) = | \lambda E - A |$$ 称为$A$的特征多项式（characteristic polynomial），显然，特征多项式的根就是特征根。

相似矩阵具有相同的特征多项式，所以矩阵的特征多项式也是对应线性变换的特征多项式。

特征多项式的展开项

设$A = (a_{ij})_{n \times n}$ $$\Delta_A (x) = | x E - A | = \begin{vmatrix} x-a_{11} & 0-a_{12} & \cdots & 0-a_{1n} \\ 0-a_{21} & x-a_{22} & \cdots & 0-a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0-a_{n1} & 0-a_{n2} & \cdots & x-a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$ 由行列式的性质，比如，我们可以将它按照第一列拆开，写成两个行列式的和，如下 $$\Delta_A (x) = \begin{vmatrix} x & 0-a_{12} & \cdots & 0-a_{1n} \\ 0 & x-a_{22} & \cdots & 0-a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0-a_{n2} & \cdots & x-a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -a_{11} & 0-a_{12} & \cdots & 0-a_{1n} \\ -a_{21} & x-a_{22} & \cdots & 0-a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & 0-a_{n2} & \cdots & x-a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$ 接下来，我们再对每个行列式的第二列展开，得到四个行列式的和，这样一直进行下去，我们可以得到$2^n$个行列式的和。（这归结于从$|x E - A|$这个行列式中每列选$xE$或$-A$的项所有的方法数） 展开后，我们来计算$x^r~(0 \leqslant r \leqslant n)$的系数，含这一项的行列式是这样生成的：这些行列式中有$r$列是从$xE$中选取的，其他列都是从$-A$中选取的（因此可知这样的行列式有$\text{C}_{n}^{r}$个），对于任意一个这样的行列式，我们记它的第$i_1, i_2, \cdots, i_r$列是从$xE$中选取的，由于$xE$是数量型矩阵，则$i_1, i_2, \cdots, i_r$列及$i_1, i_2, \cdots, i_r$行交叉的地方的元素是$x$，这些行列的其他位置都是$0$，而其他位置的元素都是$-A$中对应位置的项。

由 Laplace 展开定理则每个行列式按$i_1, i_2, \cdots, i_r$列展开，则只有选取$i_1, i_2, \cdots, i_r$行时才会出现$x^r$，否则，因为选到了$0$使这一项为$0$，所以对求和没有贡献。而选$i_1, i_2, \cdots, i_r$列及$i_1, i_2, \cdots, i_r$行后其子式就是$-A$的$n-r$阶主子式，这样，我们就知道了$x^r$前的系数就是$-A$的所有$n-r$阶主子式的和，即是$A$的所有$n-r$阶主子式的和的$(-1)^{n-r}$倍。

定理相关推论

1. $\Delta_A (x)$的次高次项的系数为$\text{tr}(-A)$
2. $\Delta_A (x)$的常数项的系数为$|-A| = (-1)^n |A|$
   以下结论适用于$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$的情形：
3. 设$A$的特征根为$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \in \mathbb{C}$（重根按重数计算），则$|A| = \prod_{k=1}^n \lambda_k$
4. $A$可逆当且仅当$A$没有零特征根。

之后我们还会见到更多推论。

代数重数

若$\lambda_0$是$A$的一个特征根，那么$\lambda_0$在特征多项式中根重数称为$\lambda_0$的代数重数（algebraic multiplicity）。

可以证明：对于$A$的任意特征根$\lambda_0$,它的几何重数不超过它的代数重数。

特征根集

$A$的所有特征根组成的集合称为$A$的特征根集（重根只算一次），记作$\Lambda$，可以证明$\mathcal{A}$有对角形表示矩阵当且仅当$\Delta_A (x)$在$\mathbb{P}$上的不可约因式都是一次式，当且仅当 $$n = \sum_{\lambda \in \Lambda} \dim V_\lambda$$

相关性质

1. （关联矩阵的特征根）假设$f$是多项式，方阵$A$的特征根集是$S$，那么$f(A)$的特征根集是$f(S).$
2. 假设$f(x)$是$A$的特征多项式，那么对任意与$A$同阶的方阵$B$，则$A, B$有公共特征值当且仅当$f(B)$不可逆。

上下节

• 上一节：特征子空间
• 下一节：零化多项式

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.