特征函数

在概率论中，特征函数（characteristic function）是研究概率分布的最重要的工具，它虽然没有像密度函数或分布函数那样的直观意义，但却有很好的分析性质。在连续型随机变量的场合下，特征函数是密度函数的 Fourier 变换。

常见概率分布的特征函数见概率分布。

概念

设随机变量$X$的分布函数是$F(x)$，那么，称下式 $$\varphi_X (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{\text{i}tx} \mathrm{d}F(x)$$ 为$X$的特征函数。注意到 $$\left|\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{\text{i}tx} \mathrm{d}F(x)\right| \leqslant \int_{-\infty}^{+\infty} |\text{e}^{\text{i}tx}| \mathrm{d}F(x) = 1.$$ 故特征函数的定义域为$t \in \R.$

特别地，当$X$为离散型随机变量时，设它有分布列 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline X & x_0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_i & \cdots \\ \hline P\{X = i\} & p_0 & p_1 & p_2 & \cdots & p_i & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 则定义退化为 $$\varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}{\text{e}}^{{\text{i}}tx_{k}}.$$ 当$X$为整值随机变量时，特征函数和母函数$A(s)$的关系是$\varphi_X (t) = A(\text{e}^{\text{i}t})$。

当$X$为连续型随机变量时，设$f(x)$是它的密度函数，那么定义退化为 $$\varphi_X (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{\text{i}tx} f(x) \mathrm{d}x.$$

基本性质

下设$X$的特征函数为$\varphi(t).$

1. Hermite 性：$\varphi(-t) = \overline{\varphi(t)};$
2. 半正定性：对任意$n$个实数$t_1, t_2, \cdots, t_n$，矩阵$\boldsymbol{A} = (f(t_i - t_j))_{n \times n}$是半正定矩阵，即它们的特征值均为非负实数；
3. 导出矩：设随机变量$X$的$n$阶矩存在，那么$\varphi(t)$的$n$阶导数存在，且有关系$$f^{(n)} (0) = \text{i}^n E(X^n);$$
4. Taylor 公式：设$X$有直到$n$阶的矩，那么$\varphi(t)$有如下泰勒展式$$\varphi (t) = \sum_{k=1}^n \dfrac{\text{i}^n E(X^n)}{n!} t^n + o(t^n);$$
5. 设$k,b\in \mathbb{R}$，那么$kX + b$的特征函数是$\text{e}^{\text{i}tb} \varphi(kt);$
6. 设$X$和$Y$相互独立，它们的特征函数分别是$\varphi_X (t), \varphi_Y (t),$那么$X + Y$的特征函数是$\varphi_X (t) \varphi_Y (t).$

唯一性定理

逆转公式：设一个随机变量的特征函数为$\varphi(t)$，分布函数为$F(x)$，对任意的$x_1, x_2$，有 $$F(x_1) - F(x_2) = \dfrac{1}{2\pi} \text{P. V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\text{e}^{-\text{i}tx_2} - \text{e}^{-\text{i}tx_1}}{\text{i}t} \varphi(t) \mathrm{d}t.$$ 其中，$\text{P. V.}$代表 Cauchy 主值。

定理：一个随机变量$X$的分布函数$F(x)$和特征函数$\varphi(t)$一一对应。

并且，已知一个随机变量的特征函数$\varphi(t)$，它的分布函数由下式确定 $$F(x) = \dfrac{1}{2\pi} \lim_{y \to -\infty} \text{P. V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\text{e}^{-\text{i}ty} - \text{e}^{-\text{i}tx}}{\text{i}t} \varphi(t) \mathrm{d}t.$$

当$\varphi(t)$在$(- \infty, + \infty)$上绝对可积时，$X$就是连续型随机变量，它的密度函数为 $$f(x) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-\text{i}tx} \varphi(t) \mathrm{d}t.$$

上下节

• 上一节：矩量母函数
• 下一节：多元特征函数

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.