热方程

在偏微分方程中，热方程（heat equation）是一类抛物型偏微分方程，它是含有时间一阶导数和空间二阶导数的偏微分方程。

概念

假设有定义在$\R^n \times [0, +\infty)$上的二阶连续可微函数$u(x, t)$满足

$$u_t - \Delta u = 0.$$

上述方程称为（齐次）热方程。非齐次的热方程为

$$u_t - \Delta u = f.$$

其中$f$是$\R^n \times [0, +\infty)$上的函数。

注意到如果函数$u(x, t)$满足齐次热方程，那么$\forall \lambda > 0$，$u \!\left( \frac{x}{\lambda^2}, \frac{t}{\lambda} \right)$也是原方程的解，这个特性是热方程的独特特征，时间一阶导和空间二阶导的等价性是热方程的核心。

基本解

热方程的基本解为

$$\Phi(x, t) = \begin{cases} \dfrac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} \text{e}^{-\frac{|x|^2}{4t}}, & x \in \R^n, t > 0, \\ 0, & x \in \R^n, t < 0. \end{cases}$$

$(x, t) = (\boldsymbol{0}, 0)$是它的奇点，它满足

$$\int_{\R^n} \Phi(x, t) \mathrm{d}x = 1.$$

上面那样满足规范性的齐次热方程的解也称为热核（heat kernel）。

关于热方程的初值问题有形式

$$\left\{{\begin{aligned}u_{t}-\Delta u&=f,&&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty ),\\u&=g,&&{\text{on }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}.\end{aligned}}\right.$$

假定$f(x, t)$关于$x$二阶可导，关于$t$一阶可导，且具有紧支集，那么它的解为

$$u(x, t) = \int_{\R^n} \Phi(x-y, t) g(y) \mathrm{d}y + \int_0^t \int_{\R^n} \Phi(x-y,t-s) f(y,s) \mathrm{d}y \mathrm{d}s.$$

一种 Fourier 变换求解的方法详见/Fourier 变换解法，可以证明这个解是二阶连续可微的且对初值具有连续依赖性。

热球

一个热球的示例，这里$(x, t) = \theta, r = 0.1, n = 2.$

为了研究非齐次的热方程以及边值问题，我们需要引入一系列相关的记号。定义$\R^{n+1}$中的热方程的抛物热柱（parabolic cylinder）是$U_T := U \times (0, T], U \in \R^n, T > 0$是时刻终点。它的边界记为$\Gamma_T := \overline{U_T} - U_T.$注意$U_T$包含顶部$U \times \{ t = T \}$，因此抛物边界是不包含这个顶部的。

另外引入基本解的等值面——热“球”（heat ball）：

$$E(x,t;r) := \{ (y, s) \in \R^{n+1}: \Phi(x - y, t - s) \geqslant r^{-n}, s \leqslant t \}.$$

这个集合并不代表一个通常意义下的球，它的中心$(x, t)$在这个球的最顶部。

再定义热柱（或称“圆”柱）

$$C(x,t;r) := \{ (y, s) \in \R^{n+1}: |x-y| \leqslant r, t-r^2 \leqslant s \leqslant t \}.$$

在后面的讨论中我们会用到这个记号。

热核的性质

齐次热方程的基本解有类似 Laplace 方程的基本解——调和函数那样相似的性质，只是这些性质更弱一些。

平均值公式

假设$u(x)$是区域$U_T$上热方程的解，那么对于任意的热球$E(x,t;r) \subset U_T$都有

$$u(x,t) = \dfrac{1}{4r^n} \iint_{E(x,t;r)} u(y, s) \dfrac{|x-y|^2}{(s-t)^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}s.$$

证明详见平均值公式/热核。

最大模原理

假设在$U_T$内二阶连续可导且连续到边界的函数$u(x)$是$U_T$内热方程的解，那么$u(x)$在$\overline{U_T}$中的最大值在边界$\Gamma_T$上取到。且进一步，如果$U$是单连通的且$u(x)$在$\overline{U_T}$的内部一点达到极大值，那么$u(x)$在$\overline{U_T}$上必为常数。

证明详见最大模原理/热核。

光滑性

假设在$U_T$内二阶连续可导且连续到边界的函数$u(x)$是$U_T$内热方程的解，那么$u(x)$是$U_T$上的光滑函数，且有导数估计式

$$\max_{C(x, t; r/2)} |D_x^k D_t^l u| \leqslant \dfrac{C_{k,l}}{r^{k+2l+n+2}} \| u \|_{L^1(C(x,t;r))}.$$

其中$C_{k, l}$是依赖于$u(x)$对$x, t$的$k, l$阶偏导数（梯度）的非负常数。$C(x,t;r/2) \subset C(x,t;r) \subset U_T.$

证明详见热方程/解的导数内估计。