点式收敛拓扑

点式收敛拓扑是映射空间中的一种拓扑，是乘积拓扑的最直接应用。

定义

假设$X$是非空集合，$Y$是拓扑空间，$Y^X$表示$X \to Y$的所有映射构成的集合，它实际上就是$\prod_{x \in X} Y.$

对任意的$x \in X$，令

$$\begin{align} e_x: Y^X & \to Y, \\ f & \mapsto f(x) \end{align}$$

称为$Y^X$关于$x$的投射（projection），也称为$Y^X$在$x$处的赋值映射（evaluation map）。

$Y^X$的拓扑$\mathcal{T}$定义为$\prod_{x \in X} Y$的乘积拓扑，即以 $\{ e_x^{-1}(U): U \in \mathcal{T}_Y, x \in X \}$ 作为拓扑子基的拓扑。这个拓扑称为由$X$到$Y$的映射空间上的点式收敛拓扑。

性质

它具有一般乘积拓扑的所有性质。

1. 上述带有点式收敛拓扑的映射空间$Y^X$是$T_0, T_1, T_2, T_3, T_{3.5}, T_4$或紧致的当且仅当底空间$Y$是对应$T_0, T_1, T_2, T_3, T_{3.5}, T_4$或紧致的。
2. 上述带有点式收敛拓扑的映射空间$Y^X$是第一可数空间或第二可数空间当且仅当$Y$是平凡拓扑空间或者$X$是可数集且$Y$是对应第一可数空间或第二可数空间。因此不可数集$X$上的实值或复值函数全体的逐点收敛性不能由任何度量或伪度量诱导。
3. 上述带有点式收敛拓扑的映射空间$Y^X$中的序列$\{ f_i \}$收敛于$f \in Y^X$当且仅当对任意的$x \in X$，拓扑空间$Y$中的序列$\{ f_i(x) \}$收敛于$f(x)$，故名点式收敛拓扑。

连续映射

我们关注的重点依然是连续映射$f: X \to Y$构成的映射空间的子空间$L(X, Y).$作为$Y^X$的子空间，它继承了很多原来的空间的性质。以下的未指定拓扑均指的是点式收敛拓扑。

假设$X$是$T_{3.5}$的，则$L(X, \R)$是$\R^X$的稠密子集。进而我们可以得出：假设$f: X \to \R$，则对任意的$\varepsilon > 0$和$X$中的有限个点$x_1,x_2,\cdots,x_n$存在一个连续映射$g:X \to \mathbb{R}$使得

$$\forall i = 1,2,\cdots,n, \quad |f(x_i) - g(x_i)| < \varepsilon.$$

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.