漸近線

在一元實函數中，漸近線（asymptote）是指函數的圖像在某些區域內的趨向直線，通過函數的表達式研究漸近線可以對函數在某些區域內的形態做一個大致把握。主要的漸近線有無窮漸近線和垂直漸近線兩種，垂直漸近線和函數的單側無窮間斷點有關，無窮漸近線和函數在（單側）無窮遠處的趨向行為有關。

概念

對於垂直漸近線，設定義在點集$D$上的函數$f(x)$在有限點$a$的某個單側去心鄰域中有定義，且$a$是一個無窮間斷點，即

$$\lim_{\overset{x \to a}{\underset{x \in D}{}}} f(x) = \infty.$$

我們就說$x=a$是函數$f(x)$的一條垂直漸近線。垂直漸近線一定是在間斷點中取到。

對於無窮漸近線，我們以正無窮為例，負無窮同理。設有定義在$(a, +\infty)$上的函數$f(x)$，存在直線$y = kx + b$，使得

$$\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx-b]=0.$$

我們就說函數$f(x)$在$+\infty$處有漸近線$y = kx+b.$

若$k=0$，則稱$y=b$是$f(x)$的一條水平漸近線。一個一元實值函數最多只有兩條無窮漸近線。

無窮漸近線的計算

對於無窮漸近線，由定義，若漸近線存在，則必能找到$k \in \R$，使得式#A1成立 將極限中的式子除以自變量，求極限依舊是零，即

$$\lim_{x \to +\infty} [\dfrac{f(x)}{x} - k] = 0.$$

因此

$$k = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.$$

將其代入式#A1即可求得

$$b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - kx].$$

例子

1. 一次有理分式函數$f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$在$c \ne 0, ad \ne bc$時有
   $$f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{c} \left( \dfrac{b}{a} - \dfrac{d}{c} \right) \dfrac{1}{x+\frac{d}{c}}.$$
   因此有一條水平漸近線$y = \dfrac{a}{c}$和一條垂直漸近線$x = \dfrac{d}{c}.$
2. 反比例函數$f(x) = \dfrac{C}{x}, C \ne 0$是一次有理分式函數的特例，有一條水平漸近線$y=0$和一條垂直漸近線$x = 0.$
3. 雙曲線在標準方程$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的情形下有漸近線$\dfrac{x}{a} \pm \dfrac{y}{b} = 0;$
4. 指數函數$y = \text{e}^x$在負無窮一側有水平漸近線$y = 0;$
5. 正切函數$y=\tan x$有無數條垂直漸近線$x = \dfrac{k \pi}{2}, k \in \Z;$
6. 反正切函數$y=\arctan x$有兩條無窮漸近線$y = \pm \dfrac{\pi}{2}.$

一般雙曲線的漸近線

如果二次曲線方程

$$F(x, y) = a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$

表示一條雙曲線，那麼它的兩個漸近方向$(X_i, Y_i)^\text{T}, i = 1,2$就是漸近線的方向，它滿足$\varphi(X, Y) = 0$，中心在漸近線上且是兩個漸近線的交點。

由此，可寫出漸近線方程

$$X_i F_1(x, y) + Y_i F_2(x, y) = 0$$

其中各記號的意義見二次曲線#一般方程。

特別地，如果$a_1 = a_2 = 0$，那麼它的漸近線就是

$$\varphi(x, y) = a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 = 0.$$

從標準方程中受到啟發，如果雙曲線由下述方程確定

$$(A_1 x + B_1 y + C_1)^2 - (A_2 x + B_2 y + C_2)^2 = 1.$$

當$A_1B_2 \ne A_2 B_1$時，上式確實代表雙曲線。那麼它的漸近線是

$$(A_1 \pm A_2)x + (B_1 \pm B_2) y + (C_1 \pm C_2) = 0.$$

曲面的漸近曲線

如果三維空間中正則曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$存在一個切向量$\boldsymbol{t}(u, v)$滿足曲面沿此方向的法曲率為0，那麼這個方向就稱為漸近方向，如果存在一條曲線$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$，使得它的每一點的切方向都是漸近方向，那麼就稱該曲線是曲面的漸近線，參見漸近線網。

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.