渐近线网

渐近线网是一个三维曲面上的借助渐近曲线而定义的一族曲线网。

渐近曲线

如果三维空间中正则曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$存在一个切向量$\boldsymbol{t}(u, v)$满足曲面沿此方向的法曲率为0，那么这个方向就称为渐近方向，如果存在一条曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$，使得它的每一点的切方向都是渐近方向，那么就称该曲线是曲面的渐近线。

假设$\boldsymbol{r}(u, v)$曲面的第二基本形式系数为$L,M,N$，根据法曲率计算公式，曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$在曲纹坐标为$(u, v)$处的渐近方向$\mathrm {d} u:\mathrm {d} v$满足如下二次方程：

$$L(\mathrm {d} u)^{2}+2M\mathrm {d} u\mathrm {d} v+N(\mathrm {d} v)^{2}=0.$$

因此只有当$M^{2}-LN\geqslant 0$的时候曲面在这一点处才有实的渐近方向，它是

$${\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}={\dfrac {-M\pm {\sqrt {M^{2}-LN}}}{L}}={\dfrac {N}{-M\mp {\sqrt {M^{2}-LN}}}}.$$

当$M^{2}=LN$的时候就简化为

$${\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}=-{\dfrac {M}{L}}=-{\dfrac {N}{M}}.$$

于是#A1就给出了渐近线所满足的微分方程，特别地当$LN<M^{2}$的时候曲面就存在两个处处线性无关的渐近方向，这就得到了一个渐近参数线网。

进一步，该曲面的参数表示是渐近曲线参数当且仅当$L = N = 0.$

具体刻画

我们将证明：曲面上的一条曲线是渐近曲线，当且仅当这条曲线是平面曲线，或者它的密切平面与曲面的切平面平行。

实际上，假设$\theta$是弧长参数化的曲线的主法向量和曲面的法向量的夹角，那么曲线的法曲率的计算公式

$$\kappa _{n}=\kappa \cos \theta .$$

是零当且仅当$\kappa=0$或$\theta ={\dfrac {\pi }{2}}.$前者将预告曲线是直线，后者将预告曲线的密切平面和法向量平行。

如果出现后者的情况，那么这条弧长参数化的渐近线${\boldsymbol {r}}_{C}={\boldsymbol {r}}(u(s),v(s))$的挠率计算公式可以由下式给出

$$\tau ={\dfrac {1}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\begin{vmatrix}(v'(s))^{2}&-u'(s)v'(s)&(u'(s))^{2}\\E&F&G\\L&M&N\end{vmatrix}}$$

因此它是平面曲线当且仅当它是曲率线。