渐近线

在一元实函数中，渐近线（asymptote）是指函数的图像在某些区域内的趋向直线，通过函数的表达式研究渐近线可以对函数在某些区域内的形态做一个大致把握。主要的渐近线有无穷渐近线和垂直渐近线两种，垂直渐近线和函数的单侧无穷间断点有关，无穷渐近线和函数在（单侧）无穷远处的趋向行为有关。

概念

对于垂直渐近线，设定义在点集$D$上的函数$f(x)$在有限点$a$的某个单侧去心邻域中有定义，且$a$是一个无穷间断点，即

$$\lim_{\overset{x \to a}{\underset{x \in D}{}}} f(x) = \infty.$$

我们就说$x=a$是函数$f(x)$的一条垂直渐近线。垂直渐近线一定是在间断点中取到。

对于无穷渐近线，我们以正无穷为例，负无穷同理。设有定义在$(a, +\infty)$上的函数$f(x)$，存在直线$y = kx + b$，使得

$$\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx-b]=0.$$

我们就说函数$f(x)$在$+\infty$处有渐近线$y = kx+b.$

若$k=0$，则称$y=b$是$f(x)$的一条水平渐近线。一个一元实值函数最多只有两条无穷渐近线。

无穷渐近线的计算

对于无穷渐近线，由定义，若渐近线存在，则必能找到$k \in \R$，使得式#A1成立 将极限中的式子除以自变量，求极限依旧是零，即

$$\lim_{x \to +\infty} [\dfrac{f(x)}{x} - k] = 0.$$

因此

$$k = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.$$

将其代入式#A1即可求得

$$b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - kx].$$

例子

1. 一次有理分式函数$f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$在$c \ne 0, ad \ne bc$时有
   $$f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{c} \left( \dfrac{b}{a} - \dfrac{d}{c} \right) \dfrac{1}{x+\frac{d}{c}}.$$
   因此有一条水平渐近线$y = \dfrac{a}{c}$和一条垂直渐近线$x = \dfrac{d}{c}.$
2. 反比例函数$f(x) = \dfrac{C}{x}, C \ne 0$是一次有理分式函数的特例，有一条水平渐近线$y=0$和一条垂直渐近线$x = 0.$
3. 双曲线在标准方程$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的情形下有渐近线$\dfrac{x}{a} \pm \dfrac{y}{b} = 0;$
4. 指数函数$y = \text{e}^x$在负无穷一侧有水平渐近线$y = 0;$
5. 正切函数$y=\tan x$有无数条垂直渐近线$x = \dfrac{k \pi}{2}, k \in \Z;$
6. 反正切函数$y=\arctan x$有两条无穷渐近线$y = \pm \dfrac{\pi}{2}.$

一般双曲线的渐近线

如果二次曲线方程

$$F(x, y) = a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$

表示一条双曲线，那么它的两个渐近方向$(X_i, Y_i)^\text{T}, i = 1,2$就是渐近线的方向，它满足$\varphi(X, Y) = 0$，中心在渐近线上且是两个渐近线的交点。

由此，可写出渐近线方程

$$X_i F_1(x, y) + Y_i F_2(x, y) = 0$$

其中各记号的意义见二次曲线#一般方程。

特别地，如果$a_1 = a_2 = 0$，那么它的渐近线就是

$$\varphi(x, y) = a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 = 0.$$

从标准方程中受到启发，如果双曲线由下述方程确定

$$(A_1 x + B_1 y + C_1)^2 - (A_2 x + B_2 y + C_2)^2 = 1.$$

当$A_1B_2 \ne A_2 B_1$时，上式确实代表双曲线。那么它的渐近线是

$$(A_1 \pm A_2)x + (B_1 \pm B_2) y + (C_1 \pm C_2) = 0.$$

曲面的渐近曲线

如果三维空间中正则曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$存在一个切向量$\boldsymbol{t}(u, v)$满足曲面沿此方向的法曲率为0，那么这个方向就称为渐近方向，如果存在一条曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$，使得它的每一点的切方向都是渐近方向，那么就称该曲线是曲面的渐近线，参见渐近线网。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.