渐屈线

在微分几何中，一个曲线的渐屈线（evolute）是这条曲线的密切圆的圆心的轨迹。

概念

假设有正则曲线$\boldsymbol{r}(s): (a, b) \to \R^n$（特别地，平面曲线）其中$s$是弧长参数，那么它的渐屈线可以写作 $$\boldsymbol{\alpha}(s) = \boldsymbol{r}(s) + \dfrac{\boldsymbol{n}(s)}{\kappa(s)}.$$ 其中，$\boldsymbol{n}(s)$是曲线的单位外法线，$\kappa(s)$是（第一）曲率。

渐屈线的切向量和原来曲线的切向量垂直，上述弧长参数换为一般的参数也是对的。

如果$C_2$是$C_1$的渐屈线，那么称$C_1$是$C_2$的渐伸线，渐屈线是唯一的但是渐伸线不是唯一的。

例子

对于一般的二阶可微的平面参数曲线$C_{1}:(f(t),g(t))$，根据定义，它的渐屈线方程为 $$C_2: \left( f(t) - \dfrac{f'(t)^2 + g'(t)^2}{(f'(t) g''(t) - f''(t) g'(t)} g'(t), g(t) + \dfrac{f'(t)^2 + g'(t)^2}{(f'(t) g''(t) - f''(t) g'(t)} f'(t) \right).$$ 一些平面曲线的渐屈线如下表，表中渐屈线方程带星号的表示与原曲线对应参数。

曲线类型	曲线方程	参数取值范围	渐屈线类型	渐屈线方程
圆	$\begin{cases} x = x_0 + R \cos t, \\ y = y_0 + R \sin t. \end{cases}$	$(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ $R > 0$	圆心	*$(x_0, y_0)$
直线	$\begin{cases} x = x_0 + t \cos \varphi, \\ y = y_0 + t \sin \varphi. \end{cases}$	$(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ $\varphi \in \R$	无穷远点	*$\infty$（球极投影）
椭圆	$\begin{cases} x = a \cos t, \\ y = b \sin t. \end{cases}$	$ab \ne 0$	偏平的星形线	$\begin{cases} x = \frac{a^2-b^2}{a} \cos^3 t, \\ y = -\frac{a^2-b^2}{b} \sin^3 t. \end{cases}$
双曲线	$\begin{cases} x = \pm a \cosh t, \\ y = b \sinh t. \end{cases}$			$\begin{cases} x = \pm \frac{a^2+b^2}{a} \cosh^3 t, \\ y = -\frac{a^2+b^2}{b} \sinh^3 t. \end{cases}$
抛物线	$\begin{cases} x = at, \\ y = a^2t^2. \end{cases}$	$a\ne0$	半立方抛物线	$27x^2 = 2(2y-1)^3$ 和$a$无关
心脏线	$\begin{cases} x = a(1-\cos t) \cos t, \\ y = a(1 - \cos t) \sin t. \end{cases}$		心脏线	$\begin{cases} x = \frac{a}{3}(1 + \cos t) \cos t - 2, \\ y = \frac{a}{3} (1 + \cos t) \sin t. \end{cases}$
星形线	$\begin{cases} x = a^3 \cos^3 t, \\ y = a^3 \sin^3 t. \end{cases}$		星形线	*$\begin{cases} x = \sqrt{2}a^3 \left(\cos^3 \left(\frac{\pi}{4}-t\right) + \sin^3 \left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right), \\ y = \sqrt{2}a^3 \left(\cos^3 \left(\frac{\pi}{4}-t\right) - \sin^3 \left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right). \end{cases}$
平旋轮线	$\begin{cases} x = a (t - \sin t), \\ y = a (1 - \cos t). \end{cases}$		平旋轮线	$\begin{cases} x = a(t + \sin t), \\ y = a(\cos t - 1). \end{cases}$
肾形线	$\begin{cases} x = a(3 \cos t - \cos 3t), \\ y = a(3 \sin t - \sin 3t). \end{cases}$		肾形线	*$\begin{cases} x = \frac{a}{2} \left(3 \sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right) - \sin 3\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right), \\ y = \frac{a}{2} \left(3 \cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right) - \cos 3\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \right). \end{cases}$
三尖瓣线	$\begin{cases} x = 2a \cos t + a \cos 2t, \\ y = 2a \sin t - a \sin 2t. \end{cases}$		三尖瓣线	*$\begin{cases} x = -6a \cos (\pi-t) - 3a \cos 2(\pi-t), \\ y = 6a \sin (\pi-t) - 3a \sin 2(\pi-t). \end{cases}$
对数螺线	$\begin{cases} x = a \text{e}^t \cos t, \\ y = a \text{e}^t \sin t. \end{cases}$		对数螺线	$\begin{cases} x = -a \text{e}^t \sin t, \\ y = a \text{e}^t \cos t. \end{cases}$
曳物线	$\begin{cases} x = a(t - \operatorname{tanh} t), \\ y = a \operatorname{sech} t. \end{cases}$		悬链线	*$\begin{cases} x = a t, \\ y = a \cosh t. \end{cases}$
悬链线	$\begin{cases} x = t, \\ y = \cosh t. \end{cases}$			$\begin{cases} x = t - \frac{1}{2} \sinh 2t, \\ y = 2 \cosh t. \end{cases}$
指数函数图像	$\begin{cases} x = t, \\ y = \text{e}^t. \end{cases}$			$\begin{cases} x = t - \text{e}^{2t} - 1, \\ y = 2 \text{e}^t + \text{e}^{-t}. \end{cases}$

可见 GeoGebra 资源：https://www.geogebra.org/m/t9bjs5gs.

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.

• https://math.fandom.com/zh