測度 （measure）是測度論的基礎概念，同時也是 Lebesgue 測度 的抽象空間的推廣。
在下面的討論中，我們所稱的集函數 （set function）是定義域為集合系 而值域為廣義實數
R
=
R
∪
{
+
∞
,
−
∞
}
{\displaystyle \mathcal{R} = \mathcal{R} \cup \{ +\infty, -\infty \}}
映射 。
定義 [ ] 假設有空間（即非空集合）
X
{\displaystyle X}
空集 的集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
μ
{\displaystyle \mu}
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
非負性：
∀
A
∈
E
,
μ
(
A
)
⩾
0.
{\displaystyle \forall A \in \mathcal{E}, \mu(A) \geqslant 0.}
規範性：
μ
(
∅
)
=
0.
{\displaystyle \mu(\varnothing) = 0.}
可列可加性：對任意兩兩不交的集合列
{
A
i
}
i
=
1
∞
⊂
E
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{E}}
μ
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
)
=
∑
i
=
1
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).}
這就是測度的公理化定義。
注意空集的測度為零，但是測度為零的集合不一定是空集，我們稱之為零測集 。
如果
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
μ
{\displaystyle \mu}
∀
A
∈
E
{\displaystyle \forall A \in \mathcal{E}}
μ
(
A
)
<
+
∞
.
{\displaystyle \mu(A) < +\infty.}
μ
{\displaystyle \mu}
如果
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
μ
{\displaystyle \mu}
∀
A
∈
E
{\displaystyle \forall A \in \mathcal{E}}
{
A
i
}
i
=
1
∞
⊂
E
:
μ
(
A
i
)
<
+
∞
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{E}: \mu(A_i) < +\infty}
A
⊂
⋃
i
=
1
∞
A
i
{\displaystyle A \subset \bigcup_{i=1}^\infty A_i}
μ
{\displaystyle \mu}
有限測度是σ有限的，反之不真。
測度空間 [ ] 在測度論的討論中我們關注的是由
X
{\displaystyle X}
E
⊂
2
X
{\displaystyle \mathcal{E} \subset 2^X}
μ
{\displaystyle \mu}
X
{\displaystyle X}
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
測度空間 。
如果
μ
{\displaystyle \mu}
μ
(
X
)
=
1
{\displaystyle \mu(X) = 1}
(
X
,
E
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{E}, \mu)}
概率空間 ，其中集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
性質 [ ] σ域
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
μ
{\displaystyle \mu}
有限可加性：對任意兩兩不交的集合列
{
A
i
}
i
=
1
n
⊂
E
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^n \subset \mathcal{E}}
μ
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
i
=
1
n
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i).}
可減性：
∀
A
,
B
∈
E
,
A
⊂
B
,
μ
(
B
∖
A
)
=
μ
(
B
)
−
μ
(
A
)
.
{\displaystyle \forall A, B \in \mathcal{E}, A \subset B, \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A).}
單調性：
∀
A
,
B
∈
E
,
A
⊂
B
,
μ
(
A
)
⩽
μ
(
B
)
.
{\displaystyle \forall A, B \in \mathcal{E}, A \subset B, \mu(A) \leqslant \mu(B).}
次可列可加性：對任意集合列
{
A
i
}
i
=
1
∞
⊂
E
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{E}}
μ
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
)
⩽
∑
i
=
1
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) \leqslant \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).}
下連續性：對任意單調上升的集合序列
{
A
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty}
μ
(
lim
i
→
∞
A
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left(\lim_{i \to \infty} A_i \right) = \lim_{i \to \infty} \mu(A_i).}
上連續性：對任意單調下降的集合序列
{
A
i
}
i
=
1
∞
,
μ
(
A
1
)
<
+
∞
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty, \mu(A_1) < +\infty}
μ
(
lim
i
→
∞
A
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left(\lim_{i \to \infty} A_i \right) = \lim_{i \to \infty} \mu(A_i).}
σ域上的測度性質很好，但是我們考慮測度擴張 等問題時往往需要通過較為簡單的集合系（例如半環 ）和性質更差一點的集函數（例如外測度 ）去構造或研究測度。這樣上面的性質就需要放寬條件，去探究是哪些公理化概念決定了性質的成立：
性質
對集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
對集函數
μ
{\displaystyle \mu}
單調性
半環
有限可加性
可減性
次可列可加性
半環
可列可加性
下連續性
上連續性
對於環
R
{\displaystyle \mathcal{R}}
μ
{\displaystyle \mu}
μ
{\displaystyle \mu}
μ
{\displaystyle \mu}
μ
{\displaystyle \mu}
在以上之一成立的情形下，
μ
{\displaystyle \mu}
μ
{\displaystyle \mu}
參考資料 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8 程士宏, 《測度論與概率論基礎》, 北京大學出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3 
