測度擴張

測度擴張是指將一個集合系（尤其是半環）上的測度擴張到更大的集合系上去。其中測度擴張定理是最為核心的結果。

定義

假設有集合系$\mathcal{E}, \mathcal{F}$滿足$\mathcal{E} \subset \mathcal{F}$，且$\mathcal{E}, \mathcal{F}$上分別存在測度$\mu,\nu$滿足 $$\mu(A) = \nu(A), \forall A \in \mathcal{E}.$$ 我們就稱$\nu$是$\mu$在$\mathcal{F}$上的測度擴張。

測度擴張定理

測度擴張定理指出：假設$\mu$是半環$\mathcal{D}$上的測度，那麼存在半環$\mathcal{D}$生成的 σ-代數$\sigma(\mathcal{D})$上的測度$\tau$使得 $$\tau(A) = \mu(A), \forall A \in \mathcal{D}.$$ 如果該半環還滿足：存在兩兩不交的$\{ A_k \}_{k=1}^\infty \subset \mathcal{D}$使得半環所在的全集$X = \bigcup_{k=1}^\infty A_k.$那麼上述擴張後的測度$\tau$還是唯一的。

這裡$\tau$實際上就是$\mu$在$\sigma(\mathcal{D})$上生成的外測度，即 $$\tau(A) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n): \{ B_n \} \subset \mathcal{D}, A \subset \bigcup_{n=1}^\infty B_n \right\}.$$ 上述測度擴張的唯一性是通過某種對半環的有限性限制得到的，一般的半環，如果不要求這個條件則測度擴張可能不唯一。特別地，如果$X \in \mathcal{D}$且$\mu$是有限測度，則上述擴張存在唯一。

實際上上述定理通過外測度將$\mu$擴張到了比$\sigma(\mathcal{D})$更大的一個σ域——全體τ可測集的集合系$\mathcal{F}_\tau$上去，下面這個命題指出了$\tau$這兩者之間的差距僅是某些零測集：

假設$\tau$是半環$\mathcal{D}$上生成的外測度，那麼

1. $\forall A \in \mathcal{F}_\tau, \exists B \in \sigma(\mathcal{D}), A \subset B$使得$\tau(A) = \tau(B).$
2. 如果該半環還滿足：存在兩兩不交的$\{ A_k \}_{k=1}^\infty \subset \mathcal{D}$使得半環所在的全集$X = \bigcup_{k=1}^\infty A_k.$那麼$\forall A \in \mathcal{F}_\tau, \exists B \in \sigma(\mathcal{D}), A \subset B$使得$\tau(B \setminus A) = 0.$

測度逼近

上述半環如果取特殊的集合系——域，那麼將會有更強的性質，我們稱之為測度逼近定理：

1. 假設$\mu$是域$\mathcal{A}$上的測度，$\tau$是$\mu$生成的外測度，如果$A \in \sigma(\mathcal{A})$且$\tau(A) < +\infty$，那麼對任意的$\varepsilon > 0$存在$B \in \mathcal{A}$使得$\tau(A \Delta B) < \varepsilon.$
2. 進一步，假設$\mu$是域$\mathcal{A}$生成的σ域$\sigma(\mathcal{A})$上的測度，且$\mu$在$\mathcal{A}$上σ有限，如果$A \in \sigma(\mathcal{A})$且$\mu(A) < +\infty$，那麼對任意的$\varepsilon > 0$存在$B \in \mathcal{A}$使得$\tau(A \Delta B) < \varepsilon.$

參考資料

1. 程士宏, 《測度論與概率論基礎》, 北京大學出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.