测度扩张

测度扩张是指将一个集合系（尤其是半环）上的测度扩张到更大的集合系上去。其中测度扩张定理是最为核心的结果。

定义

假设有集合系$\mathcal{E}, \mathcal{F}$满足$\mathcal{E} \subset \mathcal{F}$，且$\mathcal{E}, \mathcal{F}$上分别存在测度$\mu,\nu$满足 $$\mu(A) = \nu(A), \forall A \in \mathcal{E}.$$ 我们就称$\nu$是$\mu$在$\mathcal{F}$上的测度扩张。

测度扩张定理

测度扩张定理指出：假设$\mu$是半环$\mathcal{D}$上的测度，那么存在半环$\mathcal{D}$生成的 σ-代数$\sigma(\mathcal{D})$上的测度$\tau$使得 $$\tau(A) = \mu(A), \forall A \in \mathcal{D}.$$ 如果该半环还满足：存在两两不交的$\{ A_k \}_{k=1}^\infty \subset \mathcal{D}$使得半环所在的全集$X = \bigcup_{k=1}^\infty A_k.$那么上述扩张后的测度$\tau$还是唯一的。

这里$\tau$实际上就是$\mu$在$\sigma(\mathcal{D})$上生成的外测度，即 $$\tau(A) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n): \{ B_n \} \subset \mathcal{D}, A \subset \bigcup_{n=1}^\infty B_n \right\}.$$ 上述测度扩张的唯一性是通过某种对半环的有限性限制得到的，一般的半环，如果不要求这个条件则测度扩张可能不唯一。特别地，如果$X \in \mathcal{D}$且$\mu$是有限测度，则上述扩张存在唯一。

实际上上述定理通过外测度将$\mu$扩张到了比$\sigma(\mathcal{D})$更大的一个σ域——全体τ可测集的集合系$\mathcal{F}_\tau$上去，下面这个命题指出了$\tau$这两者之间的差距仅是某些零测集：

假设$\tau$是半环$\mathcal{D}$上生成的外测度，那么

1. $\forall A \in \mathcal{F}_\tau, \exists B \in \sigma(\mathcal{D}), A \subset B$使得$\tau(A) = \tau(B).$
2. 如果该半环还满足：存在两两不交的$\{ A_k \}_{k=1}^\infty \subset \mathcal{D}$使得半环所在的全集$X = \bigcup_{k=1}^\infty A_k.$那么$\forall A \in \mathcal{F}_\tau, \exists B \in \sigma(\mathcal{D}), A \subset B$使得$\tau(B \setminus A) = 0.$

测度逼近

上述半环如果取特殊的集合系——域，那么将会有更强的性质，我们称之为测度逼近定理：

1. 假设$\mu$是域$\mathcal{A}$上的测度，$\tau$是$\mu$生成的外测度，如果$A \in \sigma(\mathcal{A})$且$\tau(A) < +\infty$，那么对任意的$\varepsilon > 0$存在$B \in \mathcal{A}$使得$\tau(A \Delta B) < \varepsilon.$
2. 进一步，假设$\mu$是域$\mathcal{A}$生成的σ域$\sigma(\mathcal{A})$上的测度，且$\mu$在$\mathcal{A}$上σ有限，如果$A \in \sigma(\mathcal{A})$且$\mu(A) < +\infty$，那么对任意的$\varepsilon > 0$存在$B \in \mathcal{A}$使得$\tau(A \Delta B) < \varepsilon.$

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.