测度 (measure)是测度论的基础概念,同时也是 Lebesgue 测度 的抽象空间的推广。
在下面的讨论中,我们所称的集函数 (set function)是定义域为集合系 而值域为广义实数
R
=
R
∪
{
+
∞
,
−
∞
}
{\displaystyle \mathcal{R} = \mathcal{R} \cup \{ +\infty, -\infty \}}
的映射 。
定义 [ ]
假设有空间(即非空集合)
X
{\displaystyle X}
上的一个包含空集 的集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
,我们称满足如下条件的集函数
μ
{\displaystyle \mu}
为集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
上的一个测度:
非负性:
∀
A
∈
E
,
μ
(
A
)
⩾
0.
{\displaystyle \forall A \in \mathcal{E}, \mu(A) \geqslant 0.}
规范性:
μ
(
∅
)
=
0.
{\displaystyle \mu(\varnothing) = 0.}
可列可加性:对任意两两不交的集合列
{
A
i
}
i
=
1
∞
⊂
E
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{E}}
都有
μ
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
)
=
∑
i
=
1
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).}
这就是测度的公理化定义。
注意空集的测度为零,但是测度为零的集合不一定是空集,我们称之为零测集 。
如果
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
上的测度
μ
{\displaystyle \mu}
满足
∀
A
∈
E
{\displaystyle \forall A \in \mathcal{E}}
都有
μ
(
A
)
<
+
∞
.
{\displaystyle \mu(A) < +\infty.}
我们就说
μ
{\displaystyle \mu}
是有限测度。
如果
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
上的测度
μ
{\displaystyle \mu}
满足
∀
A
∈
E
{\displaystyle \forall A \in \mathcal{E}}
都存在有限可测的集合列
{
A
i
}
i
=
1
∞
⊂
E
:
μ
(
A
i
)
<
+
∞
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{E}: \mu(A_i) < +\infty}
使得
A
⊂
⋃
i
=
1
∞
A
i
{\displaystyle A \subset \bigcup_{i=1}^\infty A_i}
,我们就说
μ
{\displaystyle \mu}
是σ有限的测度。
有限测度是σ有限的,反之不真。
测度空间 [ ]
在测度论的讨论中我们关注的是由
X
{\displaystyle X}
的某个子集生成的σ域上的测度。假设有集合系
E
⊂
2
X
{\displaystyle \mathcal{E} \subset 2^X}
及其上的测度
μ
{\displaystyle \mu}
,
X
{\displaystyle X}
的某个子集生成的σ域为
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
,我们称
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是测度空间 。
如果
μ
{\displaystyle \mu}
还满足
μ
(
X
)
=
1
{\displaystyle \mu(X) = 1}
,我们就称
(
X
,
E
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{E}, \mu)}
是概率空间 ,其中集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
的元素称为事件。
性质 [ ]
σ域
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
上的测度
μ
{\displaystyle \mu}
还具有以下几个性质:
有限可加性:对任意两两不交的集合列
{
A
i
}
i
=
1
n
⊂
E
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^n \subset \mathcal{E}}
都有
μ
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
i
=
1
n
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i).}
可减性:
∀
A
,
B
∈
E
,
A
⊂
B
,
μ
(
B
∖
A
)
=
μ
(
B
)
−
μ
(
A
)
.
{\displaystyle \forall A, B \in \mathcal{E}, A \subset B, \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A).}
单调性:
∀
A
,
B
∈
E
,
A
⊂
B
,
μ
(
A
)
⩽
μ
(
B
)
.
{\displaystyle \forall A, B \in \mathcal{E}, A \subset B, \mu(A) \leqslant \mu(B).}
次可列可加性:对任意集合列
{
A
i
}
i
=
1
∞
⊂
E
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{E}}
都有
μ
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
)
⩽
∑
i
=
1
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) \leqslant \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).}
下连续性:对任意单调上升的集合序列
{
A
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty}
都有
μ
(
lim
i
→
∞
A
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left(\lim_{i \to \infty} A_i \right) = \lim_{i \to \infty} \mu(A_i).}
上连续性:对任意单调下降的集合序列
{
A
i
}
i
=
1
∞
,
μ
(
A
1
)
<
+
∞
{\displaystyle \{ A_i \}_{i=1}^\infty, \mu(A_1) < +\infty}
都有
μ
(
lim
i
→
∞
A
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \mu\left(\lim_{i \to \infty} A_i \right) = \lim_{i \to \infty} \mu(A_i).}
σ域上的测度性质很好,但是我们考虑测度扩张 等问题时往往需要通过较为简单的集合系(例如半环 )和性质更差一点的集函数(例如外测度 )去构造或研究测度。这样上面的性质就需要放宽条件,去探究是哪些公理化概念决定了性质的成立:
性质
对集合系
E
{\displaystyle \mathcal{E}}
的要求
对集函数
μ
{\displaystyle \mu}
的要求
单调性
半环
有限可加性 非负性
可减性
次可列可加性
半环
可列可加性 非负性
下连续性
上连续性
对于环
R
{\displaystyle \mathcal{R}}
上的有限可加的非负集函数
μ
{\displaystyle \mu}
,以下三款命题等价:
μ
{\displaystyle \mu}
是可列可加的。
μ
{\displaystyle \mu}
是次可列可加的。
μ
{\displaystyle \mu}
是下连续的。
在以上之一成立的情形下,
μ
{\displaystyle \mu}
是上连续的。当
μ
{\displaystyle \mu}
是有限测度时,上连续等价于以上三款命题。
参考资料 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8
. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3
.