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测度(measure)是测度论的基础概念,同时也是 Lebesgue 测度的抽象空间的推广。

在下面的讨论中,我们所称的集函数(set function)是定义域为集合系而值域为广义实数映射

定义[]

假设有空间(即非空集合)上的一个包含空集集合系,我们称满足如下条件的集函数为集合系上的一个测度:

  1. 非负性:
  2. 规范性:
  3. 可列可加性:对任意两两不交的集合列都有

这就是测度的公理化定义。

注意空集的测度为零,但是测度为零的集合不一定是空集,我们称之为零测集

如果上的测度满足都有我们就说是有限测度。

如果上的测度满足都存在有限可测的集合列使得,我们就说是σ有限的测度。

有限测度是σ有限的,反之不真。

测度空间[]

在测度论的讨论中我们关注的是由的某个子集生成的σ域上的测度。假设有集合系及其上的测度的某个子集生成的σ域为,我们称测度空间

如果还满足,我们就称概率空间,其中集合系的元素称为事件。

性质[]

σ域上的测度还具有以下几个性质:

  1. 有限可加性:对任意两两不交的集合列都有
  2. 可减性:
  3. 单调性:
  4. 次可列可加性:对任意集合列都有
  5. 下连续性:对任意单调上升的集合序列都有
  6. 上连续性:对任意单调下降的集合序列都有

σ域上的测度性质很好,但是我们考虑测度扩张等问题时往往需要通过较为简单的集合系(例如半环)和性质更差一点的集函数(例如外测度)去构造或研究测度。这样上面的性质就需要放宽条件,去探究是哪些公理化概念决定了性质的成立:

性质 对集合系的要求 对集函数的要求
单调性 半环 有限可加性
非负性
可减性
次可列可加性 半环 可列可加性
非负性
下连续性
上连续性

对于上的有限可加的非负集函数,以下三款命题等价:

  1. 是可列可加的。
  2. 是次可列可加的。
  3. 是下连续的。

在以上之一成立的情形下,是上连续的。当是有限测度时,上连续等价于以上三款命题。

参考资料

  1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
  2. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.
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