测地线

在数学中，三维曲面中的测地线是平面上的直线的推广，又称为自平行曲线。

定义

假设有正则曲面$S$及其上一条正则曲线$C$，如果$C$上每一点的测地曲率为零，我们就称其为测地线。曲面$S$上的测地线，它要么是直线，要么它的主法向量处处是$S$的法向量。

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1. 球面的测地线是过球心的任意平面交球面形成的大圆。
2. 旋转面的测地线是其经线。
3. 柱面的测地线是与直母线夹角为常数的曲线，圆柱面的测地线是直母线，或围柱螺线。

假设$S$有参数$u^1, u^2$，那么该曲面上测地线所满足的微分方程是

$$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}^2 u^1}{\mathrm{d}s^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^1 \dfrac{\mathrm{d}u^\alpha}{\mathrm{d}s} \dfrac{\mathrm{d}u^\beta}{\mathrm{d}s} = 0, \\ \dfrac{\mathrm{d}^2 u^2}{\mathrm{d}s^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^2 \dfrac{\mathrm{d}u^\alpha}{\mathrm{d}s} \dfrac{\mathrm{d}u^\beta}{\mathrm{d}s} = 0. \end{cases}$$

这里$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$是 Christoffel 记号，且上式使用了 Einstein 求和约定。

由常微分方程组的解存在唯一性定理可知，上述方程组在给定初值条件后测地线存在唯一。由此可知：给定曲面上一点和该点的一个切方向，必定存在唯一一条弧长参数化的测地线过该点且在该点的方向是给定的切方向。

测地线的概念是局部性质，一个曲面可能在一个开邻域上有这样的性质，但是在一个整体上可能没有这样的性质。

如果曲面有正交参数$u, v$，那么上述微分方程可以化为

$$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s} = \dfrac{1}{\sqrt{E}} \cos \theta, \\ \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} = \dfrac{1}{\sqrt{G}} \sin \theta, \\ \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \dfrac{1}{2\sqrt{G}} \dfrac{\partial \ln E}{\partial v} \cos \theta - \dfrac{1}{2\sqrt{E}} \dfrac{\partial \ln G}{\partial u} \sin \theta. \end{cases}$$

几何性质

1. 若曲面上一条曲线既是测地线又是渐近线（或曲率线），则其为平面曲线。
2. 若曲面上一条曲率线是非直线的平面曲线，那么它是曲率线。
3. 若曲面的所有测地线都是平面曲线，那么该曲面是全脐点曲面。
4. 若曲面上任意两条测地线在相交处成定角，那么该曲面是可展曲面。
5. 曲面上测地线的挠率是曲面在该曲线的切向上的测地挠率。
6. 有公切线的两个曲面，如果公切线是其中一条曲线的测地线，那么它也是另外一个曲面的测地线。

变分性质

详见曲面的变分，测地线的变分性质是：连接正则曲面上两点的最短曲线若存在，则必为测地线。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.