測地極坐標系

三維空間中正則曲面的測地極坐標系是平面中極坐標系的推廣。它是藉助曲面的測地法坐標系定義的。

定義

假設$S$是三維空間中的正則曲面，其上一點$P$附近的一個鄰域中有以$P$為原點的法坐標系$(v^1, v^2)$，作切平面$T_P S$上的坐標變換 $$\begin{cases} v^1 = \rho \cos \theta, \\ v^2 = \rho \sin \theta. \end{cases}$$ 我們就稱$(\rho, \theta)$是以$P$為極點的測地極坐標系。

上述定義的合理性需要一個引理：由$P$出發的各個切方向上的測地線的全體$\varSigma$可以覆蓋$P$的某個鄰域：即這族曲線有一個公共的下界$\varepsilon > 0$使得$\forall \boldsymbol{v} \in T_P S, \gamma_\boldsymbol{v}(s) \in \varSigma$滿足$s \in [0, \varepsilon).$

Gauss 引理

由此可以定義測地圓的概念：假設同上，取正數$s_0 \in [0, \varepsilon)$，讓$\theta$變化，得到曲線族$\varSigma$中每一條測地線上由$P$出發，長度為$s_0$的線段的另一個非$P$的端點全體形成的閉曲線，這條曲線就稱為半徑為$s_0$的測地圓。注意測地圓不一定是圓。

Gauss 引理指出：在上面的假設下，測地圓族中的每一條曲線和測地曲線族中每一條曲線是正交的。

下面我們列出測地極坐標系的一些分析性質：

性質

假設三維空間中的正則曲面$S$在其上一點$P$的附近有測地極坐標系$(\rho, \theta)$，這裡$\theta \in S^1, \rho \in (0, \varepsilon)$，那麼曲面的第一基本形式為 $$\mathrm{d}\rho^2 + G(\rho, \theta) \mathrm{d}\theta^2.$$ 且

1. $\lim_{\rho \to 0^+} \sqrt{G} = 0.$
2. $\lim_{\rho \to 0^+} \dfrac{\partial \sqrt{G}}{\partial s} = 1.$

假設以$P$為中心半徑為$r$的測地圓的周長和面積分別為$L_r, A_r$，那麼$S$在$P$處的 Gauss 曲率為 $$K_P = \dfrac{3}{\pi} \lim_{r \to 0^+} \dfrac{2 \pi r - L_r}{r^3} = \dfrac{12}{\pi} \lim_{r \to 0^+} \dfrac{\pi r^2 - A_r}{r^4}.$$

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.