测地极坐标系

三维空间中正则曲面的测地极坐标系是平面中极坐标系的推广。它是借助曲面的测地法坐标系定义的。

定义

假设$S$是三维空间中的正则曲面，其上一点$P$附近的一个邻域中有以$P$为原点的法坐标系$(v^1, v^2)$，作切平面$T_P S$上的坐标变换 $$\begin{cases} v^1 = \rho \cos \theta, \\ v^2 = \rho \sin \theta. \end{cases}$$ 我们就称$(\rho, \theta)$是以$P$为极点的测地极坐标系。

上述定义的合理性需要一个引理：由$P$出发的各个切方向上的测地线的全体$\varSigma$可以覆盖$P$的某个邻域：即这族曲线有一个公共的下界$\varepsilon > 0$使得$\forall \boldsymbol{v} \in T_P S, \gamma_\boldsymbol{v}(s) \in \varSigma$满足$s \in [0, \varepsilon).$

Gauss 引理

由此可以定义测地圆的概念：假设同上，取正数$s_0 \in [0, \varepsilon)$，让$\theta$变化，得到曲线族$\varSigma$中每一条测地线上由$P$出发，长度为$s_0$的线段的另一个非$P$的端点全体形成的闭曲线，这条曲线就称为半径为$s_0$的测地圆。注意测地圆不一定是圆。

Gauss 引理指出：在上面的假设下，测地圆族中的每一条曲线和测地曲线族中每一条曲线是正交的。

下面我们列出测地极坐标系的一些分析性质：

性质

假设三维空间中的正则曲面$S$在其上一点$P$的附近有测地极坐标系$(\rho, \theta)$，这里$\theta \in S^1, \rho \in (0, \varepsilon)$，那么曲面的第一基本形式为 $$\mathrm{d}\rho^2 + G(\rho, \theta) \mathrm{d}\theta^2.$$ 且

1. $\lim_{\rho \to 0^+} \sqrt{G} = 0.$
2. $\lim_{\rho \to 0^+} \dfrac{\partial \sqrt{G}}{\partial s} = 1.$

假设以$P$为中心半径为$r$的测地圆的周长和面积分别为$L_r, A_r$，那么$S$在$P$处的 Gauss 曲率为 $$K_P = \dfrac{3}{\pi} \lim_{r \to 0^+} \dfrac{2 \pi r - L_r}{r^3} = \dfrac{12}{\pi} \lim_{r \to 0^+} \dfrac{\pi r^2 - A_r}{r^4}.$$

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.