测地曲率

三维空间中曲面的测地曲率用以测地线概念，是曲面的内蕴几何的研究对象，可以通过曲面的第一基本形式决定。而测地线之概念则与平面上平行概念推广到曲面上有关，是满足极小线段长性质的曲面上的曲线。

曲面上曲线的 Frenet 标架

我们可以定义$\mathbb R^{3}$中正则曲线的 Frenet 标架，这个标架存在于$\mathbb R^{3}$中，但是研究曲线时有时我们需要在一张曲面上研究，即正则曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$上的一条曲线$C: \boldsymbol{r}(u(t), v(t))$，这二者之间的性质。这时$\mathbb R^{3}$中曲线的 Frenet 标架没有考虑到曲面的性质，因此我们需要重新建立标架，称之为曲面上曲线的 Frenet 标架：

三维空间中的正则曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$沿着弧长参数曲线$C: \boldsymbol{r}(u(s), v(s))$的 Frenet 标架$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3 \}$规定为：

1. $\boldsymbol{e}_1$是$C$的单位切向量$\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s}.$
2. $\boldsymbol{e}_3$是$S$的单位法向量$\boldsymbol{n}.$
3. $\boldsymbol{e}_2$由向量积确定：$\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_1.$

这样$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3 \}$是右手定向的单位正交标架。由

$$(\boldsymbol{e}_i, \boldsymbol{e}_j) = \delta_{ij},\quad i,j = 1,2,3.$$

两边求导得到 Frenet 标架矩阵是反对称的，这样可以写出标架运动公式：

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e_2} \\ \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \kappa_g & \kappa_n \\ 0 & - \kappa_g & 0 & \tau_g \\ 0 & - \kappa_n & - \tau_g & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e_2} \\ \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix}$$

这里$\kappa_n$是$\boldsymbol{e}_1$方向的法曲率，而其它两个量$\kappa_g, \tau_g$分别称为测地曲率和测地挠率。测地曲率是曲面上曲线的几何不变量，即在曲面的正交变换下不变，因此是内蕴几何量，而测地挠率不是几何不变量，和第二基本形式有关。

计算公式

可以验证有

$$\begin{align} \kappa_g = (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{r}', \boldsymbol{r}''), \\ \tau_g = (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}', \boldsymbol{r}'). \end{align}$$

测地曲率也是某条曲线的曲率，正则曲面$S$上一条正则曲线$C$在点$P$处的测地曲率是将$C$投影到曲面$S$在$P$的切平面$T_P(S)$上的曲线的相对曲率。这里切面的正向由上述标架中的法向量给出。

如果正则曲面$S$有正交参数表示$\boldsymbol{r}(u^1, u^2)$，一条弧长参数曲线$\boldsymbol{r}(u(s), v(s))$的测地曲率为

$$\kappa_g = \sqrt{g} \begin{vmatrix} \dfrac{\mathrm{d}u^1}{\mathrm{d}s} & \dfrac{\mathrm{d}^2 u^1}{\mathrm{d}s^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^1 \dfrac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d}s} \dfrac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d}s} \\ \dfrac{\mathrm{d}u^2}{\mathrm{d}s} & \dfrac{\mathrm{d}^2 u^2}{\mathrm{d}s^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^2 \dfrac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d}s} \dfrac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d}s} \end{vmatrix}$$

其中$g$是第一基本形式系数矩阵的行列式$EG - F^2, \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$是 Christoffel 记号。且上述行列式的第二列使用了 Einstein 求和约定。

如果正则曲面$S$有一般的参数表示$\boldsymbol{r}(u, v)$，一条弧长参数曲线$\boldsymbol{r}(u(s), v(s))$的测地曲率为

$$\kappa_g = \sqrt{g}(C_2 u' - C_1 v' + u' v'' - v' u'').$$

这里$C_i = \Gamma_{11}^i u'^2 + 2 \Gamma_{12}^i u' v' + \Gamma_{22}^i v'^2, i = 1,2.$

Liouville 公式

关于测地曲率有如下由第一基本形式决定的 Liouville 公式：

假设正则曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$中，$u, v$是其正交参数，假设该曲面的第一基本形式为$E\mathrm{d}u^2 + G\mathrm{d}v^2$，那么弧长参数曲线$\boldsymbol{r}(u(s), v(s))$的测地曲率是

$$\kappa_g = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} - \dfrac{1}{2\sqrt{G}} \dfrac{\partial \ln E}{\partial v} \cos \theta + \dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \ln G}{\partial u} \sin \theta.$$

其中，$\theta$是$C$在$P = \boldsymbol{r}(u(s_0), v(s_0))$处切线与$S$上$u-$曲线$\boldsymbol{r}(u(s), v(s_0))$在$P$处切线的夹角。

旋转面上一条纬线$C$的测地曲率是常数，它是过$C$上一点$P$的经线的切线从$P$到切线与旋转轴的交点的长度的倒数。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.