测地挠率

测地挠率是借助三维中的曲面上曲线各处的曲面自身的性质，它是刚体运动下的不变量，是曲面切方向上的函数。

曲面上曲线的 Frenet 标架

我们可以定义$\mathbb R^{3}$中正则曲线的 Frenet 标架，这个标架存在于$\mathbb R^{3}$中，但是研究曲线时有时我们需要在一张曲面上研究，即正则曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$上的一条曲线$C: \boldsymbol{r}(u(t), v(t))$，这二者之间的性质。这时$\mathbb R^{3}$中曲线的 Frenet 标架没有考虑到曲面的性质，因此我们需要重新建立标架，称之为曲面上曲线的 Frenet 标架：

三维空间中的正则曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$沿着弧长参数曲线$C: \boldsymbol{r}(u(s), v(s))$的 Frenet 标架$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3 \}$规定为：

1. $\boldsymbol{e}_1$是$C$的单位切向量$\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s}.$
2. $\boldsymbol{e}_3$是$S$的单位法向量$\boldsymbol{n}.$
3. $\boldsymbol{e}_2$由向量积确定：$\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_1.$

这样$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3 \}$是右手定向的单位正交标架。由 $$(\boldsymbol{e}_i, \boldsymbol{e}_j) = \delta_{ij},\quad i,j = 1,2,3.$$ 两边求导得到 Frenet 标架矩阵是反对称的，这样可以写出标架运动公式： $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e_2} \\ \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \kappa_g & \kappa_n \\ 0 & - \kappa_g & 0 & \tau_g \\ 0 & - \kappa_n & - \tau_g & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e_2} \\ \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix}$$ 这里$\kappa_n$是$\boldsymbol{e}_1$方向的法曲率，而其它两个量$\kappa_g, \tau_g$分别称为测地曲率和测地挠率。测地曲率是曲面上曲线的几何不变量，即在曲面的正交变换下不变，因此是内蕴几何量，而测地挠率不是几何不变量，和第二基本形式有关。

计算公式

可以验证有 $$\begin{align} \kappa_g = (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{r}', \boldsymbol{r}''), \\ \tau_g = (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}', \boldsymbol{r}'). \end{align}$$ 关于测地挠率还有如下显明计算公式：假设正则曲面$S$有正交参数$u^1, u^2$，那么其上的弧长参数为$s$的曲线$C$上每点的测地挠率计算公式为 $$\tau_g = \dfrac{1}{\sqrt{g}} \begin{vmatrix} \left( \dfrac{\mathrm{d}u^2}{\mathrm{d}s} \right)^2 & - \dfrac{\mathrm{d}u^1}{\mathrm{d}s} \dfrac{\mathrm{d}u^2}{\mathrm{d}s} & \left( \dfrac{\mathrm{d}u^2}{\mathrm{d}s} \right)^2 \\ g_{11} & g_{12} & g_{22} \\ b_{11} & b_{12} & b_{22} \end{vmatrix}.$$ 其中$g_{ij}, b_{ij}$分别是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式的 Gauss 记号。

实际上还有如下性质：$\tau_g = \dfrac{1}{2} \dfrac{\mathrm{d}\kappa_n}{\mathrm{d}s}$，这里$\kappa_n$是曲面上曲线切向的法曲率。此外还有 $$\kappa_n^2 + \tau_g^2 - 2H\kappa_n + K = 0.$$ 这里$H, K$分别是平均曲率和 Gauss 曲率。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.