测地平行坐标系

三维空间中曲面的测地平行坐标系是借助测地线给出的曲面上的一种局部坐标系，它是平面上平面直角坐标系的推广，在研究曲面的内蕴性质时应用广泛。

定义

假设有一张正则曲面$S$，在曲面上点$P$的某个邻域中，取一条过$P$的测地线$C$，然后在$C$的每一点做一条和曲线$C$正交的测地线，我们把这些测地线全体记作$\varSigma$，那么这族曲线会覆盖$P$的一个邻域$U(P)$，可以证明，存在曲面$S$的参数$(u, v)$使得$\varSigma$是$u$曲线族，而$C$对应了$u = 0.$

进一步，可以经过适当的参数变换使得$v$是曲线$C$的弧长参数，于是可以得到这样的参数系$(u, v)$使得$S$的第一基本形式为

$$\mathrm{d}u^2 + G(u, v) \mathrm{d}v^2.$$

且满足条件

1. $G(0, v) = 1.$
2. $\dfrac{\partial G}{\partial u}(0, v) = 0.$

这样的参数系成为曲面$S$在点$P$的测地平行坐标系。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.