流形

流形（manifold）是三维空间中的曲面的推广，定义了必要的预微分结构使得可以研究微分流形。

概念

设$M$是一个 Hausdorff 空间，如果$\forall p \in M$，存在$x$在$M$中的一个邻域$U\subset M$，使得$U$同胚于$n$维 Euclid 空间$\R^n$或其中一个开集，我们就说$M$是一个$n$维流形，一般称为拓扑流形，拓扑流形类记作$C^0.$

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1. $n$维空间中的单位球面$\{ \boldsymbol{x} \in \R^n: | \boldsymbol{x} | = 1 \}$是一个$n-1$维流形，特别地$n = 3$时就是三维空间中的单位球面；
2. 相交（超）平面$\{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \R^n: |x_1| = |x_2| \}$不是流形，因为交点处的一个邻域不是平直的。
3. 我们所处的世界应当理解为是三维流形，而不一定是三维欧氏空间，可以设想三维空间中的球面上处处都可以感知到球面是二维的，但它却不是二维欧氏空间。

可以证明，上述定义的流形是

1. 第一可数的，
2. 局部紧致的，
3. 正则的，即满足$T_3$公理，
4. 可分的，
5. 可度量化的，
6. 局部道路连通的。

有的参考书定义流形时还要求它满足第二可数性质。

在这种规定下，定义流形的三个条件：局部欧氏性质、第二可数性质和 Hausdorff 性质互不蕴含，请看下面的反例：

1. 第二可数的 Hausdorff 空间，但不满足局部欧氏性质的例子：
   三维空间中的圆锥面：$\{ (x, y, z) \in \R^3: z^2 = x^2 + y^2 \}.$
2. 局部欧氏的第二可数空间，但不满足 Hausdorff 性质的例子：
   双起点直线$(\R \times \{0\} \cup \R \times \{1\}) /\sim$，这里等价关系$\sim$定义为：$(x, 0) \sim (x, 1), x \ne 0.$
3. 局部欧氏的 Hausdorff 空间，但不满足第二可数性质的例子：
   在$\mathbb R^{2}$上定义如下拓扑基$\mathcal{B} = \{ I_{abc} = (a, b) \times \{ c \}: a, b, c \in \R \}$生成的拓扑。

维数不变性

定义流形的局部欧氏性质中的维数$n$是对所有的点的局部同胚像成立的，一个非空的第二可数的流形不可能同时是$m$维流形和$n$维流形（$m \ne n$），这就是流形的维数不变性质。

局部坐标系

假设$M$是一个$n$维流形，$U\subset M$是$p \in M$的一个邻域，开集$V \subset \R^n$，若$\psi: U \to V$是一个同胚，我们就称$(U, \psi)$是$M$在点$p$的一个局部坐标系。

进一步的微分结构

在很多问题中，仅有拓扑流形是不够的，例如：上述定义的局部坐标系，对不同的同胚映射有不同的表示，因此我们有时还要求这样的同胚之间的关系（即参数变换）满足某些性质。

如果上述定义的拓扑流形还满足：对任意两个局部坐标系$(U, \varphi), (V, \psi)$，如下的映射

$$\psi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V)$$

是直到$p$阶偏导数都存在且连续，我们就说该流形是$C^p$流形，特别地，$C^\infty$流形是微分流形。

另外如果微分流形$M$还满足$\psi \circ \varphi^{-1}$在$x\in M$处有局部的 Taylor 展开，我们就说该流形是$C^\infty$类的。

同样可以定义复流形。这几种流形的微分性质有很大的差别。

光滑函数

假设有$C^\infty$流形$M, N$以及一个映射$f:M \to N$，$x\in M$处有$M$的局部坐标系$(U,\varphi)$，同时$f(x) \in N$处也有$N$的局部坐标系$(V, \psi)$，我们称$f$在点$x\in M$处是光滑的如果$\tilde{f}: \psi \circ f \circ \varphi^{-1}$是$\varphi(x)$附近的光滑函数，或光滑映射。

对于一个定义在流形$M$上的函数$f:M\to\mathbb{R}$，按上述方法给出的复合函数$\tilde{f} = f \circ \varphi^{-1}$称为$f$的局部表示。如果$M$被它的一族局部坐标系$\{ (U_\lambda, \varphi_\lambda): \lambda \in \varLambda \}$覆盖，就存在定义在$\varphi_\lambda(U_\lambda)$上的一族局部表示$\tilde{f}_\lambda.$如果假设

$$\varphi_{ji} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}: \varphi_i(U_i \cap U_j) \to \varphi_j(U_i \cap U_j)$$

那么

$$\tilde{f}_i = \tilde{f}_j \circ \varphi_{ji}.$$

因此$\varphi_{ji}$也被称作迁移函数。

同胚

拓扑范畴中的同构就称为同胚，在$C^\infty$流形$M, N$之间如果存在光滑映射$f:M \to N$使得存在光滑映射$g: N \to M$满足

$$f \circ g = i_N, g \circ f = i_M.$$

我们就说$f$是微分同胚（diffeomorphism），并记$f^{-1} = g.$它就是光滑流形范畴中的同构。其他流形范畴上也可以类似定义同胚的概念。

子流形

假设$M$是$n$维流形，子集$N\subset M$称为是一个$k$维子流形，如果$\forall x \in N$存在一个局部坐标系$(U,\varphi)$使得

$$\varphi(N \cap U) = \R^k \cap \varphi(U).$$

这里$(N \cap U, \varphi|_{N \cap U})$是$N$在$x$点的局部坐标系。

按照定义判断子流形不是很方便，因此提出如下判别条件：

假设$M$是$n$维流形，$N\subset M$，$N$是$M$的$k$维子流形当且仅当对任意的$x\in M$都存在$M$中的一个邻域$U_x$以及光滑映射$f_x : U_x \to \R^{n-k}$使得$f_x$的 Jacobi 矩阵的秩是$n-k$且$N \cap U_x = \ker f_x.$

这也就是说，可以用一个局部的“方程”$f_x = 0$来表示子流形$N$，这是很直观且是很有用的一个事实。