泰勒级数

泰勒级数（Taylor series），实质上也就是幂级数，用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名的。通过函数在自变量的零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数。

关于一元实函数的幂级数理论，详见幂级数，关于复变函数的幂级数理论，详见复幂级数以及解析函数的泰勒展式，另外洛朗展式是泰勒级数的推广。

定义

对于一个在实数或复数$a$邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量是无穷可微的函数$f(x)$（常称为解析函数），它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数： $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$$ 这里，$n!$表示$n$的阶乘，而$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数。

唯一性定理

如果函数$f(x)$能在$x_0$的某邻域中展开幂级数，那么这个幂级数的展开式是唯一的。幂级数如果收敛，那么它代表一光滑函数（某邻域内的无穷可微函数）。

然而，幂级数展开的可行性条件是十分苛刻的。函数$f(x)$能在$x_0$的某邻域中展开为幂级数的充要条件是$f(x)$的泰勒公式的余项在该邻域中处处收敛于零。因此下述函数 $$f(x) = \begin{cases} \text{e}^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$$ 就不能展开为关于$x = 0$的幂级数，它在原点的任意阶导数为零。

另一个充要条件是：定义在$(-R, R)$上定义的光滑函数$f(x)$，它能在$(-R, R)$上展成$x = 0$的幂级数，当且仅当存在$[0, R)$上的正值函数$M(r)$，使得当$n \geqslant 0, |x| < r < R$时成立不等式 $$|f^{(n)} (x)| \leqslant \frac{n! M(r)}{(r - |x|)^{n+1}}.$$

展开方法

求一个函数的幂级数展开的方法一般有直接法和间接法，它们的求法无外乎：

1. 直接法，通过求解某一点的各阶导数再按定义写出展式，如指数函数，正余弦函数；
2. 柯西乘积法，利用已知函数的展式，将所求函数作乘积分解，利用两个级数相乘的柯西乘积法则（对角线法则等）求出；
3. 利用求导或求积分操作，转化为其它容易的函数，例如对数函数求导；
4. 将某些部分视为一个整体，利用复合函数多次展开；
5. 待定系数法，常见于两函数相除的情形，如正切函数，通常可以求得泰勒系数的递推形式。
6. 以复求实，可以用解析函数的洛朗展式等手段先求出对应复变函数的级数展开，再限制到实变量的情形。

举例

以下是一些常见的函数的幂级数展开。

几何级数

$$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots \quad \forall x: |x| < 1.$$ 该级数是等比数列求和的极限概念，十分常用，通过它可以得到其它函数的幂级数展开，如对数函数以及反正切函数的展开可以先求导再利用几何级数得到。

二项式级数

$$(1+x)^\alpha = \sum^{\infty}_{n=0} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n + \cdots$$
$\forall x: |x| < 1, \forall \alpha \in \C.$其中，二项式系数$\binom{\alpha}{n}= \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$。

该级数十分重要，例如几何级数可以令$\alpha = -1$并用$-x$代替$x$得到，反正弦函数可以先求导再利用二项式级数得到。

指数函数和对数函数

以$\text{e}$为底数的指数函数的幂级数是

$\text{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots +\frac{x^n}{n!} +\cdots \quad \forall x.$

以$\text{e}$为底数的对数函数的幂级数是

$\ln (1-x) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} - \cdots, \quad \forall x \in [-1,1).$

$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} + \cdots, \quad \forall x \in (-1,1].$

注意：对数函数$\ln x$不能在复平面的原点处展开，因为要展开的点——原点是这个多值函数的支点。

三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的幂级数：

$${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&\forall x\in \mathbb {C} ,\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&\forall x\in \mathbb {C} ,\\\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}},\\\cot x&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}4^{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}&&={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots &&\forall x:0<|x|<\pi ,\\\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}},\\\csc x&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}B_{2n}(4^{n}-2)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots &&\forall x:0<|x|<\pi ,\\\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+{\frac {5x^{7}}{112}}\cdots &&\forall x:|x|<1,\\\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|<1,\\\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &&\forall x:|x|\leqslant 1,x\neq \pm {\text{i}},\\\operatorname {arccot} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{-2n-1}&&=x-{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}-{\frac {1}{7x^{7}}}+\cdots &&\forall x:|x|\geqslant 1,x\neq \pm {\text{i}},\\\operatorname {arcsec} x&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{-2n-1}&&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}+\cdots &&\forall x:|x|>1,\\\operatorname {arccsc} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{-2n-1}&&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6x^{3}}}+{\frac {3}{40x^{5}}}+{\frac {5}{112x^{7}}}+\cdots &&\forall x:|x|>1.\end{aligned}}$$

$B_k$是 Bernoulli 数，$E_k$是 Euler 数。

严格来说，余切函数和余割函数在原点处没有定义，不能展开为泰勒级数，但是这里我们采用的是洛朗级数，考虑了$x \cot x, x \csc x$的展开式，然后同时除以$x$。注意到反三角函数均是多值的，因此考虑到复变情形时上述展开只是在主值支上的展开，其中，后三个反三角函数的展开是洛朗展开。

双曲函数

$$\begin{align} \sinh x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} && = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots, && \forall x \in \C, \\ \cosh x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} && = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots, && \forall x \in \C, \\ \tanh x & = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} && = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots, && \forall x: |x| < \frac{\pi}{2}, \\ \coth x & = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1} && = \frac{1}{x} + \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2x^5}{945} - \cdots, && \forall x: 0 < |x| < \pi, \\ \operatorname{sech} x & = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} && = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} - \frac{61x^6}{720} + \cdots, && \forall x: |x| < \frac{\pi}{2}, \\ \operatorname{csch} x & = \frac{1}{x} - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (4^n - 2)}{(2n)!} x^{2n-1} && = \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} - \frac{31x^5}{15120} + \cdots, && \forall x: 0 < |x| < \pi, \\ \operatorname{arsinh} x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^{2n+1} && = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \frac{5x^7}{112} + \cdots, && \forall x: |x| < 1, \\ \operatorname{artanh} x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} && = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots, && \forall x: |x| < 1, \\ \operatorname{arcoth} x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} x^{-2n-1} && = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \cdots, && \forall x: |x| > 1, \\ \operatorname{arcsch} x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^{-2n-1} && = \frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \frac{3}{40x^5} - \frac{5}{112x^7} + \cdots, && \forall x: |x| > 1. \end{align}$$

其中，双曲余切和双曲余割及它们的反函数为洛朗展式。与三角函数相比，双曲函数仅与对应的三角函数展式中通项相差$(-1)^n.$注意到这些反函数均是多值的，因此考虑到复变情形时上述反双曲函数展开只是在主值支上的展开，注意：反双曲余弦和反双曲正割不能在复平面的原点处洛朗展开，因为要展开的点——原点是这两个多值函数的支点。

相关母函数

• Fibonacci 数列：
  $$\frac{1}{1-x-x^2} = \sum_{n=0}^\infty F_{n+1} x^n = 1 + x + 2x + 3x^2 + 5x^3 + \cdots, \forall x: |x| < \frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$
• Euler 数：
  $$\operatorname{sech} x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = E_0 + \frac{E_2}{2} x^2 + \frac{E_4}{4!} x^4 + \frac{E_6}{6!} x^6 + \cdots, \forall x : |x| < \frac{\pi}{2}.$$
• Bernoulli 数：
  $$\frac{x}{\text{e}^x-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = B_0 + B_1 x + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \cdots, \forall x: |x| < 2\pi.$$
• 朗伯 W 函数：
  $$W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n, \quad \forall x: |x| < \frac{1}{\text{e}}.$$

  参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.