波方程

波方程（wave equation）是一類雙曲型偏微分方程，物理中很多模型，如彈性模型、振動模型以及 Maxwell 方程都和波方程有關。和 Laplace 方程以及熱方程有很大不同，該方程的解的性質不會太好，求解過程也不會太簡單。波方程對應的算子是 Klein-Gordon 算子。

概念

假設$x \in \mathbb{R}^n$是空間變量，$t \geqslant 0$是時間變量，$u(x, t)$是未知函數，如下二階偏微分方程

$$u_{tt} - \Delta u = 0.$$

是波方程的最基本形式。其中$u_{tt} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}, \Delta u = \text{div} \nabla u = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$是 Laplace 算子。

波方程對應的全空間的初值問題是

$$\begin{cases} u_{tt} - \Delta u = 0, & \text{in } \R^n \times (0, +\infty), \\ u = g, u_t = h, & \text{on } \R^n \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

其中$g, h \in C^m(\R^n)$，且$m$是正整數。

d' Alembert 公式

一維的全空間波方程的初值問題的解稱為 d' Alembert 公式。

假設有一維的波方程的 Cauchy 問題

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R \times (0, +\infty),\\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

這裏$u = u(x, t)$是未知函數，$g$是已知的二階連續函數，$h$是已知的一階連續函數。那麼它的解是

$$u(x, t) = \dfrac{g(x+t)+g(x-t)}{2} + \dfrac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} h(y) \mathrm{d}y.$$

且對初值是連續依賴的。

它的半平面問題在後面研究高維波方程的解中有應用： 假設有一維的如下 Cauchy 問題

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R^+ \times (0, +\infty), \\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R^+ \times \{ t = 0 \}, \\ u(0, 0) = 0. \end{cases}$$

這裏$u = u(x, t)$是未知函數，$g \in C^2(\R), h \in C^1(\R)$且滿足$g(0) = h(0) = 0.$那麼它的解是

$$u(x,t)={\dfrac {g(x+t)+\operatorname {sgn}(x-t)g(|x-t|)}{2}}+{\dfrac {1}{2}}\int _{|x-t|}^{x+t}h(y)\mathrm {d} y.$$

且對初值是連續依賴的。參見 d' Alembert 公式#半平面問題。

Euler-Poisson-Darboux 方程

求解$n$維的波方程需要用到球面平均（spherical mean）的手段，作函數

$$\begin{align} U(x;r,t) & = \dfrac{1}{m(\partial B(x, r))} \int_{\partial B(x, r)} u(y, t) \mathrm{d}S(y), \\ G(x;r) & = \dfrac{1}{m(\partial B(x, r))} \int_{\partial B(x, r)} g(y, t) \mathrm{d}S(y), \\ H(x;r) & = \dfrac{1}{m(\partial B(x, r))} \int_{\partial B(x, r)} h(y, t) \mathrm{d}S(y). \end{align}$$

這裏$m(\cdot)$是$n$維體積即測度。如果$u(x, t) \in C^m(\R^n \times [0, +\infty))$是波方程全空間初值問題的解，那麼定義在上的函數$U(x;r,t) \in C^m(\R_+ \times [0, +\infty))$是如下一維波方程的半平面問題的解

$$\begin{cases} U_{tt} - U_{rr} = 0, & \text{in } \R_+ \times (0, +\infty), \\ U = G, U_t = H, & \text{on } \R_+ \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

這個方程被稱為 Euler-Poisson-Darboux 方程。

Kirchhoff 公式

三維情形的波方程全空間初值問題的解公式稱為 Kirchhoff 公式。它是通過上述 Euler-Poisson-Darboux 方程化為半平面問題求解得到的。

$$u(x, t) = \dfrac{1}{m(\partial B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} t h(y) + g(y) + \nabla g(y) \cdot (y-x) \mathrm{d}S(y).$$

通過它可以得到二維的波方程全空間初值問題的解公式

$$u(x, t) = \dfrac{1}{2m(B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} \dfrac{t^2 h(y) + t g(y) + t \nabla g(y) \cdot (y-x)}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}y.$$

一般公式

對於一般的$n$維情形，需要分奇偶維討論，這是因為我們可以用 Euler-Poisson-Darboux 方程將奇數維的方程仿照三維的 Kirchhoff 公式得到，但是這對偶數維是失效的，對於偶數維需要求解比它高一維的奇數維，再通過降維得到。

$n$是奇數時，解公式為

$$u(x, t) = \dfrac{1}{(n-2)!!} \left[ \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right) \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-3}{2}} \left( \dfrac{t^{n-2}}{m(\partial B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} g \mathrm{d}S \right) + \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-3}{2}} \left( \dfrac{t^{n-2}}{m(\partial B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} h \mathrm{d}S \right) \right].$$

注意需要假設$g \in C^{m+1}(\R^n), h \in C^m(\R^n), m = \dfrac{n+1}{2}.$得到的解只能證明是$C^2(\R^n \times [0, +\infty))$的，得不到更高的光滑性。這是和熱方程不同的一點。奇數維的波方程的一個可選解法是通過將波方程劃歸為一個熱方程並使用 Laplace 變換求解，詳見波方程/Laplace 變換解法。

其中$n!!$是雙階乘，$\dfrac{\partial}{t \partial t}$表示先對$t$求偏導再除以$t$。

$n$是偶數時，解公式為

$$u(x, t) = \dfrac{1}{n!!} \left[ \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right) \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-2}{2}} \left( \dfrac{t^n}{m(B(x, t))} \int_{B(x, t)} \dfrac{g(y)}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}y \right) + \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-2}{2}} \left( \dfrac{t^n}{m(B(x, t))} \int_{B(x, t)} \dfrac{h(y)}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}y \right) \right].$$

注意需要假設$g \in C^{m+1}(\R^n), h \in C^m(\R^n), m = \dfrac{n+2}{2}, n \geqslant 2.$得到的解只能證明是$C^2(\R^n \times [0, +\infty))$的，同樣得不到更高的光滑性。

以上的解均是對初值連續依賴的，即當$x \in \R^n, t > 0$時，極限

$$\begin{align} \lim_{(x, t) \to (x^0, 0)} u(x, t) &= g(x^0), \\ \lim_{(x, t) \to (x^0, 0)} u_t(x, t) &= h(x^0). \end{align}$$

Stokes 法則

假設$u(x, t)$是初值問題

$$\begin{cases} u_{tt} - \Delta u = 0, & \text{in } \R^n \times (0, +\infty), \\ u = 0, u_t = h, & \text{on } \R^n \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

的解，那麼$v = u_t$是

$$\begin{cases} v_{tt} - \Delta v = 0, & \text{in } \R^n \times (0, +\infty), \\ v = h, v_t = 0, & \text{on } \R^n \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

的解，這便是 Stokes 法則（Stokes rule）。