波方程

波方程（wave equation）是一类双曲型偏微分方程，物理中很多模型，如弹性模型、振动模型以及 Maxwell 方程都和波方程有关。和 Laplace 方程以及热方程有很大不同，该方程的解的性质不会太好，求解过程也不会太简单。波方程对应的算子是 Klein-Gordon 算子。

概念

假设$x \in \mathbb{R}^n$是空间变量，$t \geqslant 0$是时间变量，$u(x, t)$是未知函数，如下二阶偏微分方程

$$u_{tt} - \Delta u = 0.$$

是波方程的最基本形式。其中$u_{tt} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}, \Delta u = \text{div} \nabla u = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$是 Laplace 算子。

波方程对应的全空间的初值问题是

$$\begin{cases} u_{tt} - \Delta u = 0, & \text{in } \R^n \times (0, +\infty), \\ u = g, u_t = h, & \text{on } \R^n \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

其中$g, h \in C^m(\R^n)$，且$m$是正整数。

d' Alembert 公式

一维的全空间波方程的初值问题的解称为 d' Alembert 公式。

假设有一维的波方程的 Cauchy 问题

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R \times (0, +\infty),\\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

这里$u = u(x, t)$是未知函数，$g$是已知的二阶连续函数，$h$是已知的一阶连续函数。那么它的解是

$$u(x, t) = \dfrac{g(x+t)+g(x-t)}{2} + \dfrac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} h(y) \mathrm{d}y.$$

且对初值是连续依赖的。

它的半平面问题在后面研究高维波方程的解中有应用： 假设有一维的如下 Cauchy 问题

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R^+ \times (0, +\infty), \\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R^+ \times \{ t = 0 \}, \\ u(0, 0) = 0. \end{cases}$$

这里$u = u(x, t)$是未知函数，$g \in C^2(\R), h \in C^1(\R)$且满足$g(0) = h(0) = 0.$那么它的解是

$$u(x,t)={\dfrac {g(x+t)+\operatorname {sgn}(x-t)g(|x-t|)}{2}}+{\dfrac {1}{2}}\int _{|x-t|}^{x+t}h(y)\mathrm {d} y.$$

且对初值是连续依赖的。参见 d' Alembert 公式#半平面问题。

Euler-Poisson-Darboux 方程

求解$n$维的波方程需要用到球面平均（spherical mean）的手段，作函数

$$\begin{align} U(x;r,t) & = \dfrac{1}{m(\partial B(x, r))} \int_{\partial B(x, r)} u(y, t) \mathrm{d}S(y), \\ G(x;r) & = \dfrac{1}{m(\partial B(x, r))} \int_{\partial B(x, r)} g(y, t) \mathrm{d}S(y), \\ H(x;r) & = \dfrac{1}{m(\partial B(x, r))} \int_{\partial B(x, r)} h(y, t) \mathrm{d}S(y). \end{align}$$

这里$m(\cdot)$是$n$维体积即测度。如果$u(x, t) \in C^m(\R^n \times [0, +\infty))$是波方程全空间初值问题的解，那么定义在上的函数$U(x;r,t) \in C^m(\R_+ \times [0, +\infty))$是如下一维波方程的半平面问题的解

$$\begin{cases} U_{tt} - U_{rr} = 0, & \text{in } \R_+ \times (0, +\infty), \\ U = G, U_t = H, & \text{on } \R_+ \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

这个方程被称为 Euler-Poisson-Darboux 方程。

Kirchhoff 公式

三维情形的波方程全空间初值问题的解公式称为 Kirchhoff 公式。它是通过上述 Euler-Poisson-Darboux 方程化为半平面问题求解得到的。

$$u(x, t) = \dfrac{1}{m(\partial B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} t h(y) + g(y) + \nabla g(y) \cdot (y-x) \mathrm{d}S(y).$$

通过它可以得到二维的波方程全空间初值问题的解公式

$$u(x, t) = \dfrac{1}{2m(B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} \dfrac{t^2 h(y) + t g(y) + t \nabla g(y) \cdot (y-x)}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}y.$$

一般公式

对于一般的$n$维情形，需要分奇偶维讨论，这是因为我们可以用 Euler-Poisson-Darboux 方程将奇数维的方程仿照三维的 Kirchhoff 公式得到，但是这对偶数维是失效的，对于偶数维需要求解比它高一维的奇数维，再通过降维得到。

$n$是奇数时，解公式为

$$u(x, t) = \dfrac{1}{(n-2)!!} \left[ \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right) \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-3}{2}} \left( \dfrac{t^{n-2}}{m(\partial B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} g \mathrm{d}S \right) + \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-3}{2}} \left( \dfrac{t^{n-2}}{m(\partial B(x, t))} \int_{\partial B(x, t)} h \mathrm{d}S \right) \right].$$

注意需要假设$g \in C^{m+1}(\R^n), h \in C^m(\R^n), m = \dfrac{n+1}{2}.$得到的解只能证明是$C^2(\R^n \times [0, +\infty))$的，得不到更高的光滑性。这是和热方程不同的一点。奇数维的波方程的一个可选解法是通过将波方程划归为一个热方程并使用 Laplace 变换求解，详见波方程/Laplace 变换解法。

其中$n!!$是双阶乘，$\dfrac{\partial}{t \partial t}$表示先对$t$求偏导再除以$t$。

$n$是偶数时，解公式为

$$u(x, t) = \dfrac{1}{n!!} \left[ \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right) \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-2}{2}} \left( \dfrac{t^n}{m(B(x, t))} \int_{B(x, t)} \dfrac{g(y)}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}y \right) + \left( \dfrac{\partial}{t \partial t} \right)^{\frac{n-2}{2}} \left( \dfrac{t^n}{m(B(x, t))} \int_{B(x, t)} \dfrac{h(y)}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{d}y \right) \right].$$

注意需要假设$g \in C^{m+1}(\R^n), h \in C^m(\R^n), m = \dfrac{n+2}{2}, n \geqslant 2.$得到的解只能证明是$C^2(\R^n \times [0, +\infty))$的，同样得不到更高的光滑性。

以上的解均是对初值连续依赖的，即当$x \in \R^n, t > 0$时，极限

$$\begin{align} \lim_{(x, t) \to (x^0, 0)} u(x, t) &= g(x^0), \\ \lim_{(x, t) \to (x^0, 0)} u_t(x, t) &= h(x^0). \end{align}$$

Stokes 法则

假设$u(x, t)$是初值问题

$$\begin{cases} u_{tt} - \Delta u = 0, & \text{in } \R^n \times (0, +\infty), \\ u = 0, u_t = h, & \text{on } \R^n \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

的解，那么$v = u_t$是

$$\begin{cases} v_{tt} - \Delta v = 0, & \text{in } \R^n \times (0, +\infty), \\ v = h, v_t = 0, & \text{on } \R^n \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

的解，这便是 Stokes 法则（Stokes rule）。