泛对象

研究一个范畴，往往要牵扯到其中定义的一些概念，这些概念满足泛性质（universal property，又称万有性质）时，这样的对象是往往是有价值的。

定义

设有范畴$\mathsf{C}$及$I \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，如果对于任意的$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，$\operatorname{Hom}_\mathsf{C} (I, A)$均只有一个元素，我们就称对象$I$是$\mathsf{C}$的始对象（initial object）。

设有范畴$\mathsf{C}$及$F \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，如果对于任意的$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，$\operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, F)$均只有一个元素，我们就称对象$F$是$\mathsf{C}$的终对象（final object, or terminal object）。

前者也称作泛对象（universal object），后者也称作余泛对象（couniversal object），它们是一对余概念。

唯一性

一个特定的范畴$\mathsf{C}$上的始对象和终对象不一定存在（如整数偏序集就都不存在），若存在，始对象之间是同构的，终对象之间也是同构的。

例子

1. 集合范畴上的始对象是空集，终对象是任意单点集。
2. 群范畴的始对象和终对象都是平凡群。
3. R-模范畴上的始对象和终对象都是零模。